一、无限小数在实数中的意义

这是三年以前写的一篇博客文章,原题叫《给初中生们讲解无限小数、无理数,以及0.999…等于1的问题》。后来被转载到百度百科的“无限小数”词条。本来是有出处的,后来博客被关闭,出处也被删掉了。原文如下:

0.99...=1这个结果是数学上确定的东西,但通常的解释都是要用极限理论的,对于一些中学生和某些没有很好理解极限理论的大学生们来说,他们还是有很多疑问的。因此,有些人想用各种迂回的办法说服他们,但这些解释往往又是不彻底的,很难有说服力。
今天我来用初等几何的方法给一个最接近极限理论和实数理论的解释。只要学过初中的平面几何,就应该能看懂。但我要讲的内容不仅限于此。如果你只对0.999…等于1的问题感兴趣,可以只看第四部分。但我相信其它部分对你也会有帮助的。

我们学过,实数是由有理数和无理数组成的,整数和分数统称有理数,它们是有限小数和无限循环小数,而把无限不循环小数叫做无理数。这是初中课本上的定义。从这个定义中我们可以看出,任何一个实数,都可以用十进制小数(不管是有限的还是无限的)表示出来。
后来,我们又知道,实数和数轴上的点是一一对应的。也就是说,我们的实数是可以表现任意一条线段的长度的,并且同一条线段只有一个长度。
但是,课本上的这几句话,仍然让我们感到糊涂,有理数(即有限小数和无限循环小数)到底和无理数有什么不同?为什么把它们区分开?还有,无限小数到底是什么意思?数轴上的点为什么就可以和十进制小数对应呢?怎么对应的呢?我们慢慢来看。
我们的实数必须要满足我们表示长度的需要。因此,数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数。
把直线用通常的方法标出0,1,2……这些整数点来,这就是我们的数轴了。这样,如果哪一个点正好落在某个整数点上,我们就可以用这个整数表示这个点。但是,其它的点如何表示呢?比如,0和1之间的中点。我们发现,把0与1之间的线段(以下简称 01线段)分成10份,这个点恰好就会落到第五个分点上。那么,我们就把它记为0.5好了。01线段的四等分点呢?我们还把01线段10等分,但是却发现这个点仍然不会落在这些10等分点上,它落在第二分点0.2和第三分点0.3之间。现在,我们把刚才分好的每个线段再分成10份,这相当于把01线段100等分了。我们发现,我们要找的点正好落在了线段(0.2,0.3)上的第5个分点上,即01线段第25个一百等分点上。那么,我们把它记为0.25。
现在我们考虑,有没有那样的点,不论我们把01线段怎么10等分,100等分,1000等分,100000000等分,…,它就是不落在任何一个分点上?有的。比如,01线段的3等分点。我们把01线段十等分,它落在了第三、四两个分点之间,再把这个小线段10等分,它仍然在第三、四两个分点之间,…,每次十等分,它都在第三、四分点之间。那么我们只好用一个无限小数来表示这个点了:0.333…。(其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点。注意:这个无限小数表示的是三等分点,而不是我们得到的那些十、百、千等分点。所以 0.333…精确地等于1/3.要不然1/3将无法用十进制小数表示。)这就是十进制小数表示直线上的点的原理。

分数为什么能化成有限小数或无限循环小数?
无限循环小数化成分数的方法很多人都理解了,但是要问起为什么分数一定可以化成无限循环小数,就不是所有人都知道了。
其实也不难。这只要想想我们通常是怎么把一个分数q/p化成了小数的。我们通常用分子除以分母,除不尽时把余数添零,即把余数扩大十倍然后继续除(请读者思考一下这个除法的过程怎样对应我们刚才讲的原理)而在做除法时我们有一个原则,那就是每一步的余数必须要比除数小。那么,如果一个除法永远也除不尽的时候,就会无限次出现余数。在任意连续的p+1个余数中,必然有两个余数是相等的。(因为这p+1个正整数都比p小),相等的余数会导致相等的商,这样余数和商就周期性重复出现了。
因此,分数就是有限或无限循环小数,有限或无限循环小数也是分数。

为什么要有无限不循环小数
分数都是有限或无限循环小数。那么现在我们要问的是,无限不循环小数是些什么样的数呢?为什么把它们叫做无理数?
还是考虑数轴。我们现在发现,刚才讨论的1/3点,虽然我怎样用十等分的办法,它都不会落在分点上。但是,如果我把01线段3等分,分一次它就落在分点上了。(因此,1/3虽然用十进制不能表示成有限小数,但用3进制就可以是有限的了:三进制的 0.1恰好就是1/3。)同样,1/p点,如果把01线段分成p等分,它就落在第一个分点上,它用p进制就可以表示成0.1。
那么现在考虑,是否有那样的点,不论我们把01线段几等分,它都不会落在分点上?也就是说,是否在数轴上有那么一些点,我们不可以把它写成q/p这样的分数?我们想到圆周率,它是无限不循环的,肯定不能表示成分数。但是,要想证明它是无限不循环小数,还需要很多知识。现在举一个初中生熟悉的例子:2的算术平方根(即根号2,边长为1的正方形 对角线的长)它就不能被写成分数。为什么呢?因为如果它能写成p/q,p、q互质,那么因为2的平方根不是整数,所以q不为1。而且 \frac{p^2}{q^2}就应该是整数2。但是,原来互质的两个数,平方之后仍然互质, q^2不可能被约分成1,因此 \frac{p^2}{q^2}也不可能等于2。
有限或无限循环小数都要么是整数要么是分数,那么像2的平方根这样的数,就只能是无限不循环的了。把它称作无理数,是因为不能表示成分数。

无限小数是什么意义
刚才我们说的都是数轴上的点如何用小数来表示。我们也得到了结论:数轴上任何点都能找到对应的小数表示。现在,我们要问,随便拿一个无限小数,我们怎样在数轴上找到和它对应的点?
按第一部分的分析,我们举一个无理数的例子:比如说, \pi=3.1415926535897\dots,它表示数轴上哪个点呢?
它应该表示这样一个“确定的点”(确定的点,这很重要):它在整数3与4之间(即大于等于3小于等于4);如果把34线段十等分,它应该在第一、二分点之间(大于等于3.1小于等于3.2),如果把3.1 3.2之间线段十等分,它在第四和第五分点之间,等等…
现在我们担心,在数轴上可不可能有两个点同时可以用同一个无限小数表示?不能。因为如果有两个点A和B同时能用圆周率的小数表示,那么,线段AB的长度是多少呢?A、B是不同的点,因此AB长度不能是0。在几何中,有一条公理叫“阿基米德公理”,说任意两条线段a,b,不论a有多短,b有多长,把a延长若干倍之后,长度一定会超过b。比如,1米长的线段和一千米长的线段,把1米长的线段延长 10000倍就比一千米长的线段长了。现在,我们看AB这条线段,我把34线段十等分,它们俩同在一二分点之间,应有  AB \le 1/10,因此 10AB\le 1;把3.1 3.2之间线段十等分,它们也同在第四和第五分点之间,因此应该有AB<=1/100,因此100AB<=1;……也就是说,不论我们把AB 延长多少倍,长度都不会比1大。这和阿基米德公理是矛盾的。那么只能说明AB=0,A与B是同一个点。
那么,是不是随便拿来一个无限小数都能在数轴上找到和它对应的点呢?答案也是肯定的,这一部分也涉及很多知识,不在这里讨论。
罗嗦这么半天,终于来到某些人关心的问题了:0.9(9循环)这个数是否等于1?按这个无限小数的意义,我们要找一个点,如果把01线段10等分,它在第九分点和1之间,如果再把这一小段再10等分,它仍在第九分点和1之间……
哪一点满足这个条件呢?显然1就满足这个条件。除此之外还有其它满足条件的点吗?刚才说了,这样的点只有一个。因此0.9(9循环)在数轴上对应的点就是1。
因此,虽然是同一个点,但把它表示成十进制小数时,表示方法却不唯一。在讨论十进制小数时,我们通常把都是9的循环节去掉,只用进一位的有限小数。所以0.9(9循环)这样的十进制小数是没有存在的必要的,它和1表示的是同一个实数。
去掉不必要的小数,我们就可以说,数轴上的点和小数一一对应。

有关无穷小与阿基米德公理的问题
可能有人还是不承认,他们可能会说,为什么“阿基米德公理(附联接:阿基米德)”是正确的?0.0…1无限个0后面有一个1,把它放大多少倍都不会大于1。
如果你这么反驳我,我也没办法说服你。但我可以肯定地告诉你,你所讨论的问题已经不是欧氏几何和实数了。在数学上确实有不等于零的无穷小常量(即它是个正的“常数”,而且比任何正实数都小,却不等于0),那就是非标准分析里的无穷小。但这个无穷小不是我们讨论的实数。
因此,只有满足一些公理的对象,我们才把它们称作实数,才把它们称作欧氏几何。阿基米德公理在我们的讨论范围内是正确的,只因为它是公理。

2 thoughts on “一、无限小数在实数中的意义

  1. 实数的理论是魔鬼。
    在实数的基础出发点,离不开直觉,但又违背了直觉。
    实数的点,是没有量度的,但却又可以排列的成可以。有长度的。无限个0相加是0,无限个点的累加却又一个
    不是0.
    实数理论基础本身就是实无穷。
    极限描述的一个过程。以静态的手法描述‘判断的一个无限过程。是一个以有穷的方式去描述无穷的趋势。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注