三年前写的有关芝诺悖论的文章

  这篇关于芝诺悖论的文章分两个部分,前一部分指出通常的极限理论并没能完整解决芝诺悖论,是三年前刚毕业时写的;后一部分分析芝诺悖论几种可能的解决途径,是第二年五一时写的。因为当时对非标准分析完全不了解,只是道听途说地把别人的描述照搬过来,有很多谬误。
  因为在《无限循环小数0.99...是否等于1》系列文章中,在讨论数学无限观的时候还要再次分析芝诺悖论和无穷小分析,所以这个就不归到连载里了。
  全文如下:

芝诺悖论漫谈(上)

  我在初中学习反比例函数的时侯,对函数图像和X轴“无限接近却永无交点”这件事很是不解。两个物体,就拿手中的两支笔为例,既然在相触之前可以“无限地接近”,那么这个接近的过程就应该是“永远无法完成的”,但它们最终还是碰到了一起了。它们是如何从“无限接近”的状态一下子就碰到一起了?
  我想一定有很多人有过我这样的困惑。然而我那时认为这也只是胡思乱想罢了,所以当时把它忽略了。

  其实,早在古希腊时期,哲学家芝诺就提出了和这类似的问题。当然,他的问题完全是另一种陈述方式,这就是我们下面要讨论的芝诺悖论:
  一位飞毛腿名叫阿基里斯(是传说中的跑神)。有一天他和一只乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处,他们同时同向开跑。芝诺预言,阿基里斯追不上这只乌龟。为什么呢?芝诺的理由是这样:比赛开始时,乌龟在阿基里斯前方十米;当阿基里斯跑完这十米,乌龟向前跑了一米;当阿基里斯跑完这一米之后,乌龟又向前跑了0.1米,阿基里斯跑0.1米,乌龟向前跑0.01米,……如此下去,每当阿基里斯经过一段时间追赶后跑到乌龟所在地的时候,乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤,因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。(在我小时候被人追逐的时候,我也这样想过!)
  我们把乌龟作为参照物,就可以得到这样一个表述:一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1,然后再从C点移动到AC1中点 C2,到C2之后又要移动到AC2中点C3,……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的,因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的,那就意味着P不能从A点移动到任何一点,因此P的运动是不可能的。
  事实上,我们把这一列点的顺序倒过来,就得到芝诺的另一个悖论:运动不可能。因为P从A点出发要移动到B,那它首先要移到AB终点C1,要移动到 C1,又要首先移动到AC1中点C2,……这样,P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1,这个要求是无穷的。因此,P不可能动起来。

  但是以我们的经验,我们明明看到,只要时间足够长,走得快的物体一定能追上走得慢的物体;而且世界上的物体都是运动的。这与芝诺推理的结果不符。也就是说,芝诺的推理过程中一定犯了什么错误。那么,他到底犯了什么错误呢?

  对芝诺悖论的不同理解,导致不同层次的反驳。

  有人只从经验层次理解芝诺悖论,以自己或其它物体运动的事实来反驳芝诺悖论。他会一边走一边说:“看,我不是在运动吗?”这种反驳当然是最没有力度的。芝诺悖论之所以称为悖论,就因为它是用似乎无懈可击的推理过程得到了一个与事实相违背的结论。谁都知道芝诺是错误的,但关键的问题是要从逻辑的角度找到它到底错在哪,或者指出他的推理过程有问题,或者指出他所用的逻辑前提有问题。
  学过极限或微积分理论的人可能都知道有这样一个反驳:在悖论一中,虽然阿基里斯追赶乌龟的这段路程有无限个小路段,但是这些小路段的长度越来越小,阿基里斯跑过这些小路段所用的时间也越来越短。如果阿基里斯一秒跑10米,那么他跑过第一段路就用1秒;第二段路用0.1秒;第三段路用0.01秒,……,这些时间小段加起来也不过1.111…(1循环)=10/9秒。也就是说,阿基里斯将在起跑后10/9秒时追上乌龟。同理可应用到第二悖论中。这样反驳的人显然是认为,芝诺所说的“追不上”是指“追赶的过程要花无穷长的时间”,芝诺之所以断言“追不上”是因为他不懂得无限个数的和仍可以是有限数。

  这个解释可以用来向人展示极限理论的威力,但依然没有触及芝诺悖论的本质,而且具有很强的迷惑性。我高中时接触到这个解释之后很长一段时间内都认为这就是解决芝诺悖论的最佳途径。当时在物理上还有一道题:一个弹性小球从一米高的地方落下,第一次弹起上升到0.5米,以后每次弹起高度是前一次的一半,问小球经过多长时间静止在地面,小球运动的总路程长是多少。这也是用极限论得到答案的,因为1+2*(1/2+1/4+1/8+…)=3,所以小球总共运动 3米,同理运动时间也会是个确定的数,当时间走过这个确定的数,小球不可能在运动,那它一定是静止在地面上。然而,我们早有这样一个结论:一尺之棰,日取其半,万世不竭。意思是长度为一尺的木棍,第一天取半尺,第二天取剩下的一半,即四分之一尺,第三天再取剩下的一半八分之一,等等。这样取千万年也不能把这根木棍取完。因为这个过程步骤是无限的。但是,同样是无限步骤,为什么有些能完成,有些不能完成呢?原因是后者把无限步骤分配到等长的时间段里,造成时间段之和不收敛,而前者的无限个时间段和是收敛的。
  这样看来,只要把无穷个时间段之和压缩到有限,那么无穷步骤就是可以完成的了?由此可以设想,假设我们能制造出一台机器,用它可以验证歌德巴赫猜想 (数学家歌德巴赫提出猜测:任何一个大于2的偶数可以写成两个质数的和。至今无人证明也没有找到反例)。它可以在第一秒验证第一个偶数,接下来的0.5秒验证第二个偶数,…以后每验证一个偶数,都能得到前一个偶数的启发使所用时间是前一个偶数的一半。那么验证所有偶数的时间应该是1+1/2+1 /4+…=2。这样,它就可以用两秒钟把所有偶数都验证完吗?先不讨论这样的机器是否能够存在,单单从理论角度想,也觉得不可思议。偶数个数是无穷多啊,所有偶数都验证完了,但却不存在最后接受检验的偶数,那是一种什么状态呢?如果真的存在这样的机器,那么要么它失灵,要么它一定会把我们的时间带入无穷的深渊。如果让它把这个验证的过程倒过来,它要从哪里开始验证呢?它不可能开动。再设想,现在有一个关于有理数的未证明难题,那么,用一架证明机器验证所有有理数的时间和只验证自然数的时间是一样的,因为有理数和自然数一样多,有理数集的任何两个无限子集中的元素个数都是一样多!
  一个小球,第一秒从A点跳到B点,接下来的0.5秒从B点跳回A点,……每次位置转移的时间是前一次的一半,那么经过2秒,小球将跳转无穷多次,在2 秒那一刻,小球在哪?如果让小球一直朝一个方向前行,即每个时间段前行AB距离,经过两秒钟,小球真的到无穷远了吗?速度达到无穷大了吗?
  按照前面极限论反驳芝诺悖论的思路,就会出现这样一些奇异的结论。只是在芝诺悖论中随着无限过程的进行,所有事件(空间和时间运动)都呈收敛趋势,把问题掩盖住了。从后面例子我们看到,即使在时间有限或抛开时间的情况下,“无穷过程可完成”也是值得商榷的。芝诺悖论真正让人感到困惑的是这样一个“无穷过程”。为什么有那么多人相信这样的解释是成功的呢?它迷惑人的地方有两点:
  第一,无穷级数的通常表述方式给人的误导,使人错误地理解极限论。我们总把1/2+1/4+1/8+…=1说成数列{an=1/2^n}所有项的和为 1,让人误以为我们真的把这无穷个数一个一个地拿来加在一起了。而实际上,我们把无穷级数定义成数列前n项和Sn的极限,在极限定义中,Sn的极限只是当 n越来越大时Sn随n变化的趋势,当n越来越大时,Sn会越来越接近于1,并且只要n取得足够大,Sn也可以与1要多近有多近。但是要注意,定义中并没有要求n一步一步地从有限走到无穷,Sn也不是一步一步地最终到达1。我们取极限,实际上是通过Sn变化趋势直接研究Sn极限的性质。所以极限理论没有体现任何无穷过程,而是从有限一下子跳到了无限的。然而芝诺悖论中的运动却要从有限一步一步地走到无限,所以这种解释无法告诉我们无限过程是如何完成的,运动是如何完成的。
  第二,它把空间上可运动或可到达归因于时间。首先把空间上的物体位移看成时间的函数,然后看到当时间趋于某个值的时候,阿基里斯与乌龟的距离趋于零,最后由位移函数的连续性(这种连续性是天经地义的吗?)断言阿基里斯可以追上乌龟。但刚刚说过,极限理论中有一步跳跃,所以我们取极限时必须预先假定序列极限存在。因此这个解释还是先假定了时间段之和的极限存在,即时间可以到达10/9秒。时间看来是不停息地向前走着并且是绵延不断的,因此一般人不会质疑这样一个假定。但是时间又是什么?它是客观存在的实体吗?还是万物运动给我们造成的感觉?如果它是后者,那么我们实际上把“此物可运动或可到达”归因于“ 彼物可运动可到达”;如果是前者,那么把芝诺悖论的论述从空间移到时间,同样导致无限步骤,时间从这一刻到达下一刻,必须经过无穷多个中点。按芝诺的辩解,时间是不能到达的,甚至是不能动的。没有时间,物体怎么走?由此看来,这种解释仍然用到运动的事实解释运动,没有比第一个解释深刻多少。

  让我们从头来分析芝诺悖论产生的根源。首先,芝诺在阿基里斯或其它物体运动的路程中不受限制地取中点或其它分点,而后,他又不承认现实世界中存在包含无穷步骤的运动过程,由此导致芝诺悖论。而他不受限制地取分点的时候就隐含一个假定:时间或空间无限可分。所以,要解决芝诺悖论,要么我们抛弃这个假定,要么我们接受无穷过程。
  但是,现实世界存在无穷集合、无穷过程的观念,别说是古希腊哲学家,就连一些现代数学家和哲学家们也拒不承认,其中包括希尔伯特这样的数学大家。因此,芝诺从时空分立观(即时间和空间都有最小的基础单位)入手再次进行论述。不幸的是,这次他又得到了两个悖论:飞矢不动悖论和跑马场悖论。但是这两个悖论记载得就没有前两个悖论那样清晰了,尤其是跑马场悖论,至今我没找到我认为合理的叙述,而对飞矢不动,很多人还把它当成时空连续的情形来反驳。因此,这里只简单转述这两个悖论。
  飞矢不动:射出去的箭在空中飞的时候,由于时间是由不可分割的最小单位“瞬间”组成的,所以在每个瞬间,箭占据着空间中一个具体的位置,是静止的。因为如果不这样,瞬间就又是可分的了。那么,所有的静止加起来,箭在所有的时间都是不动的。
  跑马场悖论:设空间和时间是由不可分割的单位组成,以下每一个“一”代表这样一个单位。三个物体甲、乙、丙,其中乙静止,甲和丙向相反的方向等速运动。假设在时刻一,三个物体位置关系如下:
甲:  一一一一
乙:  一一一一
丙:  一一一一
过了一个时间单元,在时刻二,情况变成这样:
甲: 一一一一
乙:  一一一一
丙:   一一一一
那么,甲和丙什么时候相差一个空间单位即出现如下排列呢?
甲: 一一一一
丙:  一一一一
  这样,不论假定时空连续还是离散,都得到悖论。此时芝诺得出结论:运动是不存在的。我们认为世界在动只是我们的错觉,我们不应该相信这种感觉,而应该相信理性。

芝诺悖论漫谈(下)

  如果芝诺说的真的没有漏洞,那么我们真的要相信运动不存在了。但实际上真正的无懈可击是不可能的。
  首先,在连续情形,虽然无穷过程很反常,超越了我们常规的思维,但至少没有充足的理由证明它不存在。它确实让我们不可思议,但自然界中让我们不可思议的事少吗?假定一个无限过程没有引入矛盾,而且也不会得出一个和事实相反的结论,那么我们确实没什么理由否定它。
  第二,“时空分立”的推理过程中,虽然假定了时空不连续,但芝诺仍然要求运动尽可能保持连续性。在“飞矢不动”中要求箭在每一个不可分的时间单位有一个固定的位置,不同时刻之间箭的位置不能变化;在“运动场”中要求运动具有介值性。对一个在离散的点上定义的函数提出这种连续性要求,就必然导致它只能取常数值。但这种连续性要求是否合理?运动的连续性是人通过观察宏观物体的运动现象得来的,而在人类分辨不清的微观世界,运动是否还有连续函数的那些性质?这确实不是必然的。
  第三,除了连续和分立两种情形之外,真的没有其它情形了吗?
  所以,芝诺悖论看起来无懈可击,但它里面隐含了太多值得重新考虑的前提。但这种简单的驳斥已不能满足我的好奇心了,芝诺悖论的意义现在已经不在悖论本身了,而在于它告诉了我们这样一个事实:我们对运动的微观基础一无所知。一个物体从一个地方移动到另一个地方,在这个过程中究竟发生了什么?它怎样完成无限?或者,它怎样实现不连续的运动的?

  我们放弃对理想化模型的讨论,不再视运动的物体为一质点,而更多地关注物体本身的结构。因为很多奇异性的东西正是从理想化模型中得出来的。比如,如果将地球和地球之外的某物体都看作质点,那么当物体离地球距离为零时,它们之间的引力将达到无穷大,但事实上并非如此,无论在地表还是在地心,物体所受的引力合力都不会是无穷大,而在地心处,物体受到引力合力变为零(如果视地球为标准的球型)。这说明,理想化模型只是真实物体的一种简化,它对客观世界的描述只是在一定条件下才是准确的。
  芝诺悖论是不是也是产生于这样的简化模型呢?我们考虑,一个物体实际上是由很多的分子组成的,正像一群羊是由几十几百只单个的羊组成的。两个物体是怎样由不接触的状态经过一个运动过程而碰到一起的呢?这就有些类似于考虑两群羊是如何合二为一的。但是,因为羊群的边界是模糊不清的,当我们按照芝诺的推理步骤去分析这个过程时,会发现经过了一些步骤之后我们很难判断两个羊群是否已经变成一群羊了。同样,我们也很难判定一群羊何时可以算作经过一个点。羊群的运动被归结为每一只羊的定向运动,而一只羊的运动又归结为组成这只羊的分子的运动……这样以此类推下去会有终点吗?如果物质是由某种不可分割的 “基本微粒”组成的,那么这种“基本微粒”又是如何运动的呢?如果物质可以无限地分割下去,那么是不是意味着我们对运动的理解已经走到尽头,不可能再深入下去了?

  现代物理学已经对微观世界做了很多深入的研究,有很多有趣的结论。它们大致表明,越进入微观世界,来自宏观世界的测量概念越显得无意义。比如,微观粒子的运动具有高速度、高曲率,具有随机性、非因果性等特征;微观粒子具有波粒二象性;微观粒子的动量和位置不可能同时被准确测量(测不准原理)、基本粒子内部是个非牛顿的高维空间,等等。
  这似乎表明,当我们探究微观世界时,不能简单地把它看作三维空间在尺度上压缩,因为它具有一些三维空间没有的性质。那么,是不是说明我们通常用实数和实数轴来表征时间和空间的这种做法根本就是不准确的呢?在数学上有没有更准确地描述无穷小的方法呢?有,这就是上世纪六十年代兴起的非标准分析。
  大家知道,有理数是整数的扩充,实数是有理数的扩充,而在非标准分析中,通常的实数集合又被扩充到了超实数集。在超实数集中,有那么一些特殊的元素,它们不等于0,却小于任何一个常规的正实数,也大于任何一个常规的负实数,它们就是无穷小,这样无穷小元素有无限多个,它们可以构成一个无限维空间。将一个常规的实数和一个无穷小元加在一起,我们就可以得到一个一般的超实数。除了无穷小量,无穷大也被当作超实数,并且也有无穷多个。
  将超实数直观地表示在一条直线上,就是鲁轴。与常规的实数轴不同的是,鲁轴上每一个点不是代表一个元素而是代表一个集合,其中的元素之间相差无穷小。我们所有相差无穷小的元素构成的集合称为一个单子。有趣的是,在单子这个人造的无穷小空间中,竟有很多和微观物理世界相似的性质,比如:单子内没有序关系(即元素之间没有大小),具有不可尺度性,无穷小空间不是欧式空间,等等。
  正因为在非标准分析中内在地含有无穷小及其诸多特性,又可以简化传统分析学的思维方式,以至于很多人都希望非标准分析能够成为传统微积分的替代,或更准确地说,成为研究无穷小世界的有力武器。因为通过分析我们提到,我们通常所用的时间空间模型——实数和欧氏几何的直线,可能只是时空的一种近似描述。除了经典的实直线,非标准分析中的鲁轴也许能更细致地刻画时空结构。

  这么说来,我们曾经认为是物理时空完美刻画的实数,竟然是不准确,甚至根本就是个错误的模型了吗?如果把真实的世界比作一棵鲜活的花,那么我们的实数理论至多只能算是一棵仿制的、人造的假花了。那么我们为何直到现在还在使用实数去作各种运算?而且这种“不准确”似乎丝毫不影响数学被广泛应用到自然、社会各各个领域之中,并且取得了令人赞叹的辉煌成就。这是为什么呢?
  事实上,人类的任何测量活动都是不精确的,即便实数集合为我们提供了一个强大的系统,让我们可以以任意精度来表征物理世界,但人们只能用到实数集的有限子集。在大多数科研活动中,譬如用地球、太阳和月亮此刻的运行状态预测日食,观测时一厘米的误差一般不会对预测结果产生什么影响,这时苛求观测精度既没必要又不可能。所以人们连实数提供的精度都用不了,更别说超实数了。即使是超实数,可能也只是时间与空间的诸多近似模型中的一种而已。因为在真实世界里,无穷小的特征是随着时空的尺度缩小而逐渐显露的,但非标准分析中的无穷小却是个绝对的概念,所以它无法解释两个物体之间的那段距离是如何从大于零的一个数缩到无穷小的。
  如果我们要研究一朵花的整体结构,研究它的花瓣怎样排列,花叶上的叶脉怎样分布,那么用一棵粗糙的仿制品就足够了,但是如果我们要研究它的细胞结构,那么我们的模型就应该至少要细致到每一个细胞的程度才行。

  那么,既然芝诺在物理空间的运动中发现芝诺悖论,这个悖论是否会通过实数而被带入数学领域呢?是否在数学理论中也会出现芝诺悖论呢?不会。首先,芝诺悖论和罗素悖论不同,它没有引起逻辑矛盾,而在数学中,只要一种理论没有逻辑矛盾,就是可被接受的,所以,数学上是承认无穷大、无穷集合的;其次,芝诺悖论起源于运动,只要在实数中把运动的观点去除,芝诺悖论就不会存在了。但实数的主要职责就是表征运动,那怎么办呢?事实上,在数学中,运动是用函数表征的,而函数本质上只是一种对应,是对客观世界运动的一种静态描述,如果把函数比作电影胶片,那么运动就是凝固在胶片上的电影。一旦我们用运动的观点去处理函数,芝诺悖论带来的危险马上就会显示出来,比如牛顿时代发生的第二次数学危机。直到后来柯西和威尔斯特拉斯将运动学排除在数学基础理论之外,用极限理论将微积分算数化,这次危机才算彻底解决。

  认识微观世界,认识无穷小是个艰巨的任务,它并不比认识宇宙、认识无穷大更容易。所以不能将无穷小理论当作运动的基础。如果人们都一味地扑在无穷小问题上,那么科学将停滞不前。只有以当前的经验为背景,同时向宇宙之大和粒子之微两个方向进行探索,才是认识宇宙奥秘的捷径。(完)

  (终于写完了,给自己交差了,回家这几天一直没更新就是在写这个,因为对现代物理和非标准分析不是很熟悉,所以后面的这部分写得很吃力。有关物理和非标准分析的大部分观点来自于高隆昌所著《数学及其认识》,但由于时间仓促对书中的观点难免产生误解,并且在一些地方可能会犯根本性错误。如果您觉得其中的观点有什么不妥,恳请您指出,我将不胜感激。您要是对其中的物理或数学知识感兴趣可以在网上搜索一些资料。但这篇文章后半部分的主要用意既不是物理也不是数学,而是我们怎样看待我们手里掌握的知识。)

  真的没有路可走了吗?

One thought on “三年前写的有关芝诺悖论的文章

  1. 看完还是感觉有点悲哀,或许在有生之年都不能得到无穷小的实质是什么?运动又是什么?

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