七、无穷真的客观存在吗?——芝诺悖论

数学上对于无穷的大量研究,使我们不禁要问:无穷在客观世界真的存在吗?
曾经人们认为宇宙的尺寸是无穷大的,但是现代的科学家普遍认为,宇宙也是有界的。那么凭我们的直觉,宇宙中的物质也很有可能是有限的。没有直接证据可以证明无穷大和无穷多的存在性。
无穷还可能有第三存在的状态:无穷小。那么无穷小是否客观存在?我们的空间是否无限可分?

芝诺悖论表明,这是最值得怀疑的。如果我们的时空无限可分,那么会有下面的芝诺悖论出现:
一位飞毛腿名叫阿基里斯。有一天他和一只乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处,他们同时同向开跑。比赛开始时,乌龟在阿基里斯前方十米;当阿基里斯跑完这十米,乌龟向前跑了一米;当阿基里斯跑完这一米之后,乌龟又向前跑了0.1米,阿基里斯跑0.1米,乌龟向前跑0.01米,……如此下去,每当阿基里斯经过一段时间的追赶,跑到乌龟所在地的时候,乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤,因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。
我们把乌龟作为参照物,就可以得到这样一个表述:一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1,然后再从C点移动到AC1中点 C2,到C2之后又要移动到AC2中点C3,……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的,因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的,那就意味着P不能从A点移动到任何一点,因此P的运动是不可能的。
事实上,我们把这一列点的顺序倒过来,就得到芝诺的另一个悖论:运动不可能。因为P从A点出发要移动到B,那它首先要移到AB终点C1,要移动到 C1,又要首先移动到AC1中点C2,……这样,P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1,这个要求是无限的。因此,P不可能动起来。
可以看到,只要假定时空无限可分,就会根据推理得到一个与事实不相符合的结果。

有人从极限论的角度反驳芝诺悖论:在悖论一中,虽然阿基里斯追赶乌龟的这段路程有无限个小路段,但是这些小路段的长度越来越小,阿基里斯跑过这些小路段所用的时间也越来越短。如果阿基里斯一秒跑10米,那么他跑过第一段路就用1秒;第二段路用0.1秒;第三段路用0.01秒,……,这些时间小段加起来也不过1.111…(1循环)=10/9秒。也就是说,阿基里斯将在起跑后10/9秒时追上乌龟。同理可应用到第二悖论中。
这样反驳的人显然是认为,芝诺所说的“追不上”是指“追赶的过程要花无穷长的时间”,芝诺之所以断言“追不上”是因为他不懂得无穷级数的和仍可以是个有限的数。

中国古代早就流传这样一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭。意思是长度为一尺的木棍,第一天取半尺,第二天取剩下的一半,第三天再取剩下的一半,等等。这样取千万年也不能把这根木棍取完。因为这个过程步骤是无限的。但是,同样是无限步骤,为什么有些能完成,有些不能完成呢?原因是后者把无限步骤分配到等长的时间段里,造成时间段之和不收敛,而前者的无限个时间段和是收敛的。

这样说来,只要把无穷个时间段之和压缩到有限,那么无穷步骤就不光是理论上的,在现实中也是是可以完成的了?由此可以设想,假设我们能制造出一台机器,用它可以验证歌德巴赫猜想 (数学家歌德巴赫提出猜测:任何一个大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。至今无人证明也没有找到反例)。它可以在第一秒验证第一个偶数,接下来的0.5 秒验证第二个偶数,…以后每验证一个偶数,都能得到前一个偶数的启发而使所用时间比验证前一个偶数时间缩短一半。那么验证所有偶数的时间应该是 1+1/2+1 /4+…=2。这样,它就可以用两秒钟的时间,把所有偶数都验证完了!先不讨论这样的机器是否能够存在,单单从理论角度想,也觉得不可思议。偶数个数是无穷多啊,所有偶数都验证完了,但却不存在最后接受检验的偶数,那是一种什么状态呢?如果真的存在这样的机器,那么要么它失灵,要么它一定会把我们的时间带入无穷的深渊。如果让它把这个验证的过程倒过来,它要从哪里开始验证呢?它不可能开动。再设想,现在有一个关于有理数的未证明难题,那么,用一架证明机器验证所有有理数的时间和只验证自然数的时间是一样的,因为有理数和自然数一样多,有理数集的任何两个无限子集中的元素个数都是一样多!

类似的,还有一个“抛球悖论”:A,B两个人在抛一个球,第一秒,球从A抛到B,接下来的0.5秒从B抛回A,……每次抛球所用的时间是前一次的一半,那么经过2秒,小球将被抛转无穷多次,在2秒那一刻,小球在哪?
这回,时间的和确实是有限了,但是做的事情却无法有一个收敛的结果。

是不是我们只承认,在有限的时间完成一个有收敛结果的事情,无穷过程才可完成,从而不用考虑上述悖论的这些情况了呢?这似乎是强词夺理:任何一个涉及无穷的步骤,其中必然蕴含一个不收敛的过程,那就是某变量从1开始顺次走完所有自然数。假设在阿基里斯追乌龟的同时,旁边有一盏记录状态的灯,每当阿基里斯走完一段追赶的距离,灯就改变一次状态,由亮变到灭,或由灭变到亮,这样下去在阿基里斯追上乌龟的时刻灯是亮还是灭?难道它会像“薛定谔的猫”那样,处于两种状态的叠加状态?这里又出现了那个抛球悖论的情形了。

可见,假定时空可以无限分割得到的芝诺悖论,不是因为用的时间是否有限的问题,而是无限步骤是否真实可以完成。即使在时间有限或抛开时间的情况下,“无穷过程可完成”也是值得商榷的。它的荒谬之处在于,自然数包含无穷多个元素,却不存在最大的元素,从1开始一个一个地取,一段时间之后,如果说取完了,却无法说最后取出的是哪个元素;如果把这个取的过程按时间顺序倒过来,不知道第一个要取哪一个元素。或者说,任何过程在思维上都可逆,但无穷过程即使在思维上也不可逆。

那么为什么有那么多人相信用极限的方式解决芝诺悖论是成功的呢?它迷惑人的地方有两点:
第一,无穷级数的通常表述方式给人的误导,使人错误地理解极限论。我们总把1/2+1/4+1/8+…=1说成数列{an=1/2^n}所有项的和为 1,让人误以为我们真的把这无限个数一个一个地拿来加在一起了。而实际上,我们把无穷级数的和定义成数列前n项和Sn的极限,在极限定义中,Sn的极限只是用来表明当n越来越大时Sn随n变化的趋势,当n越来越大时,Sn会越来越接近于1,并且只要n取得足够大,Sn也可以与1要多近有多近。但是要注意,定义中并没有要求n一步一步地从有限走到无穷,Sn也不是一步一步地最终到达1。我们取极限,实际上是通过Sn变化趋势直接研究Sn极限的性质。所以极限理论没有体现任何无穷过程,而是从有限一下子跳到了无限的。然而芝诺悖论中的运动却要从有限一步一步地走到无限,所以这种解释无法告诉我们无限过程是如何完成的,运动是如何完成的。
第二,它把空间上可运动或可到达归因于时间。首先把空间上的物体位移看成时间的函数,然后看到当时间趋于某个值的时候,阿基里斯与乌龟的距离趋于零,最后由位移函数的连续性(确实用到了连续性,时间趋向于某个值的时候阿基里斯和乌龟的距离趋向于0,从而根据连续性得出时间到达这个值的时候二者的距离就是0。)断言阿基里斯可以追上乌龟。但刚刚说过,极限理论中有一步跳跃,所以我们取极限时必须预先假定序列或函数极限存在。因此这个解释还是先假定了时间段之和的极限存在,即时间可以“到达”10/9秒。时间看来是不停息地向前走着并且是绵延不断的,因此一般人不会质疑这样一个假定。但是时间又是什么?它是客观存在的实体吗?还是万物运动给我们造成的感觉?如果它是后者,那么我们实际上把“此物可运动或可到达”归因于“ 彼物可运动可到达”;如果是前者,那么把芝诺悖论的论述从空间移到时间,同样导致无限步骤:时间从这一刻到达下一刻,必须经过无穷多个中点。按芝诺的辩解,时间是不能到达的,甚至是不能动的。没有时间,物体怎么走?由此看来,这种解释是用运动的事实解释运动。

现在,我们陷入了一种尴尬的境地:一方面,在数学内部,我们引入极限,引入无穷,我们可以毫无顾忌地谈论函数和数列的极限、谈论无穷集合,甚至谈论无限过程。然而一旦把这种理论应用于实际,用实函数去刻画运动,却说不清无限过程是如何完成的,甚至拒绝接受无限过程可以完成。这也是当今实数理论遭到某些人诟病的主要原因。而解决这个矛盾的两条路也摆在面前:要么坚持时空无限可分,那就得承认无限过程可以完成;否则,就必须承认时空不是无限可分的。

我们的心智无法接受无限过程客观地可以完成,那我们就来审视时空无限可分的假设,大多数人都会觉得这个方向好接受一些。
最初人们是如何得到时空无限可分的结论的?这和得到“宇宙无限”是类似的推理过程:假设宇宙本身是有限的,那么有限的宇宙之外是什么?还是宇宙,宇宙是包罗万象的,所以宇宙是无限的。同样的道理,假设时间和空间不是无限可分的,那么时间和空间的最小单位仍然有中点,这个中点的存在就表明,它们仍然是可分的,矛盾,所以时空无限可分。
这里暗自假定了一个前提:我们从日常生活中总结出几条欧氏几何的公理,然后假定,欧式几何在任何尺度上都是适用的,一条像银河系直径那么长的线段,和地球上两棵树之间连成的线段,和像原子核半径那么长的线段,从结构和特征上没有任何区别,都能在其上找到无穷多个点,原子核里面的世界也和我们的正常世界一样满足欧氏几何的公理。
然而,物理与数学的发展表明,没有任何证据可以证明这样一个事实。

因此,用符合欧氏公理的实数连续统表征时间和空间结构,再用实函数刻画物体的运动过程,及有可能只是一种近似。

很多人都参加过中学或大学的数学建模竞赛,学过数学建模的人都知道,对一个复杂的问题建立数学模型,不可能把实际过程的所有相关事物和所有细节都反映到数学模型中去,只能挑选问题中的几个主要的因素,建立一个足够近似的并且处理复杂度适中的模型。
联系此处的情形,并回忆数学的整个发展过程,我们是否可以给数学下一个定义:所有的数学,是否就是我们为现实世界建立的一个模型?

既然是模型,就有一个精度范围。就像是给一盆花做一个石膏模型,不可能复制得和真的一模一样毫无差别,从表面看上去再像,一旦追究到细胞级结构,模型就无法表现了。而且,花有花的细微结构,石膏模型有石膏模型的细微结构。用模型研究花的宏观结构,比如叶片形态、花序等,模型的精度尚可适用,但到了细胞级结构,石膏的颗粒就毫无价值了。

那么,时间和空间的结构到底是不是像我们的实直线那样的结构呢?如果不是,真实意义下的连续统到底是什么结构?还有,如果我们用实数刻画时空是错误的,那么为什么实数的数学——微积分还能在实际生活中有如此广泛的应用,能够如此精确地刻画现实世界中的各种变化过程呢?

回到这节的主题:如果无穷在客观世界中不存在,我们对无穷的研究还有什么意义?

PS:芝诺悖论与实数关系的两点补充:
有关芝诺悖论和实数与极限理论的关系,还可以补充以下两点:
第一,既然假定时空无限可分会导致芝诺悖论的困境,为什么在实数中芝诺悖论没有突显出来?因为实数虽然是描述空间结构和数量关系的模型,函数的概念是从运动中抽象出来的,但是一旦到了数学内部,从纯粹逻辑的角度,用集论的观点看待实函数,函数是被定义成两个数集的映射的,什么是映射?两个集合元素之间的对应关系,两个集合的笛卡尔积的一个子集,可见映射的逻辑定义是静态的,并不体现运动的概念。至于极限,虽然是研究运动趋势的,体现自变量无限趋近于某值的时候函数值也无限趋近于一个值,可是一旦用ε-δ语言一描述,马上把运动的观念去掉了,这样才有可能严密化。
第二,既然实数和函数的逻辑定义不体现运动,为什么用它们研究运动呢?假定时空可以无限分割,并且是由时间点和空间点组成的,并且运动是既定的事实,那么运动就是时间点到空间点的映射。可见,用实数研究运动,是以运动存在为既定的事实,并不追究运动的原因。这充分说明,数学只是描述自然,并不解释自然。

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