上帝是一位算术家还是一位几何学家?(上)

——对数学基础的历史回顾

上帝是一位算术家——雅可比
上帝是一位几何学家——柏拉图

(警告:本文属于数学史演义,如有与真实的数学史冲突之处,请以正史为准。)

在日常生活中,为了解决事物个体的数目的种种问题,人们发展出了自然数和算术;又为了解决土地丈量问题,发展出了几何。在古希腊的毕达哥拉斯时代,毕达哥拉斯相信:“万物皆数”,即任何事物的本源都是数,世间的规律都是由算术法则决定的。就连几何,他也试图把图形的规律统一到算术中去。他认为,任意两条线段都可以找到第三条线段作为公比,使两条线段都为第三条线段的整数倍。在这一阶段,世界可以用数学解释,数学包括算术和几何,而算术与几何都是统一于算术的。上帝在这个时候还是个算术家。

然而,毕达哥拉斯自己发现的毕达哥拉斯定理却使他自己的“万物皆数”观念陷入了困境,不可公度比的发现,预示着算术与几何的分离。因为在几何中应用的算术都是建立在有理数的基础上的,有理数又是自然数发展出来的,当时在算术系统中没有可以表示不可公度比的那一类数,所以几何也就无法再归结为算术了,这引起了第一次数学危机,这次危机以欧多克斯那曲折繁琐的穷竭法告一段落。从此,代表几何上测量的“量”就从算术系统中脱离出来了。人们不再相信算术是整个数学的基础,算术与几何独立发展的时代到来了。欧几里德的《几何原本》开辟了几何公理化发展的新纪元。人们不禁感叹,宇宙中的万千条几何规律,竟然可以用严格的推理从几条显而易见的公理中推导出来!而算术中的“数”,无疑地可以包括在几何的“量”中。因此,柏拉图断言:上帝是位几何学家。

转眼到了高斯时代,这期间,笛卡尔的解析几何已成为公认的研究几何的新方法,人们似乎已经默认接受了无理数的存在。因为人们看到,不可约量(无理数)并不是异类分子,它们还是乖乖地遵守那些有理数的运算法则。到这一阶段,由算术发展出来的代数和欧氏几何已经构成一对完美的搭档,共同创造了诸多奇迹,其中尤以牛顿和莱布尼茨的微积分和牛顿的《自然哲学的数学原理》对后世的影响至关重要,标志着代数与欧氏几何对自然界完美的刻画。然而,历代数学家试图证明欧氏几何第五公设却不成功,使高斯敏锐地觉察到,欧氏几何并非是世界上唯一的一种几何,宇宙空间也并不显然是一定遵从欧氏几何规律的。
从高斯的怀疑到非欧几何被彻底地接受,欧氏几何作为数学基础的地位也越来越被动摇。人们发现,只要欧氏几何无矛盾,那么非欧几何同样没有矛盾。欧氏几何只是各种几何中的一种而已,是人们从眼前的有限世界中抽象出来的,在更大或更小的尺度,欧氏几何规律未必成立。那么一旦欧氏几何被从自然界法则的神坛上请下来,它的无矛盾性就是个未解决的问题。上帝或许是个几何学家,但我们无法知道上帝是用哪种几何创造的世界。
由于笛卡尔的解析几何工具,欧氏几何的无矛盾性就自然地归结为实数的无矛盾性了。然而,实数的无矛盾性又如何解决?那些无理数是谁也说不清楚的。这个问题由柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托那一批人解决了。从此实数可以划归为有理数,进而划归为整数、自然数。庞加莱和克罗内克等人相信,所有数学的基础问题都归结到了自然数中,而自然数的无矛盾性是显然的,凭直觉就可以判断。因此克罗内克说:“上帝创造了自然数,其它的一切都是人造的。”上帝在这个时候又变成了算术家。
同时代的皮亚诺等人不满意这种说法,他们认为,自然数还不是最终的基础,需要进一步归结为集合论,因为,在当时的数学主体中,集合的思想已经深入到了数学的每一个角落,数学家们都在自觉或不自觉地使用着集合,尤其,实数理论本身,即从自然数构筑实数的过程中,也是依赖于无穷集合的。集合,显然是自然界中更普遍存在的对象,自然数只不过是从某些特殊的集合中抽象出来的,或者,可以把它们等价划归为一类特殊的集合。在这些人的眼里,上帝就不单纯是算术学家或几何学家,而是集合学家,上帝创造了包罗万象的集合,集合再衍生万物。

然而,万能的上帝创造了包罗万象的集合,却创造不出他自己搬不动的石头,集合论的悖论出现了。因为推出悖论所用的方法在数学中那么普遍,逻辑上那么无懈可击,却得到了自相矛盾的结果,这不仅使集合论面临崩溃,连整个数学的基础都动摇了。上帝给人们变了个魔术而已,向人们展示了坚不可摧的数学大厦,实际上千疮百孔,最后行将化为美丽的肥皂泡。

针对这种情况,很多数学家试图扭转乾坤,他们基本上形成了三个派别:
一种认为,数学本质上可以划归为逻辑,上帝是逻辑学家。这是以罗素和怀特海为代表的逻辑主义学派。弗雷格即属于这一派。他们在前人形式逻辑的基础上发展出了数理逻辑,并试图把所有的数学,和数学当中所用到的逻辑规则都通过逻辑公理形式地推导出来。他们认为,之所以产生集合论悖论,是由于集合论中错误地使用了逻辑,错误地使用一种定义集合的方法,因此产生了一种“恶性循环”。为了正确使用逻辑,并保留集合论的主要内容,他们创建了分支类型论。上帝的能力也是分等级的,不存在一个万能的上帝,最无能的上帝创造了集合,集合也并非包罗万象,而这个上帝无法创造自己搬不动的石头,需要能力更高级的上帝来创造。然而,把数学归结为逻辑既繁琐又牵强,最后,本该由上帝创造的逻辑公理规则完全变成了人造的,罗素有假传上帝旨意之嫌。
另一个派别,布劳威尔主张的直觉主义,这一派别拒绝篡改上帝的旨意,也拒绝在上帝的旨意中添油加醋,他们是胆小谨慎的历史考古专家,任何对他们来说不可信的东西都要排除在他们的数学之外。庞加莱和克罗内克是这一派别的先驱。他们认为,只有那些可以在有限步骤构造出来的东西才可以确认是存在的,只有能在有限步骤之内检验的规律才是可信的。每个自然数可以在有限步骤之内构造出来,因此自然数的理论是可信的,但是自然数的全体——自然数集,则不可信,因此不存在。通常,我们认为直线是由不可数多个点构成的,但在他们的展型连续统中,至多只能有可数多个实数,而且这可数多个实数还是在不断生成着的。他们太谨慎了,最后发现能让他们相信的数学只有那么一点点而已。对他们来讲,上帝是个工匠,并且在永无休止地构建着他的世界。
还有一个对后世数学基础发展影响甚大的派别:形式主义派。他们认为,真理是否存在,上帝以何种方式创造世界,是个他们无法判定的问题。因此,他们只能揣测上帝的各种可能意图。他们把数学建成各种逻辑上自洽的形式公理系统,并且说:公理系统只是形式,并不代表世界上的任何实体和实体的规则。如果上帝按这组公理建造世界,则这套系统中的定理为真;如果上帝按那组公理建造世界,则那套系统中的定理为真。我们只需也只能保证我们的公理系统是无矛盾的,最好也是完备的。除此之外,我们一无所知。一切数学都是人造的,上帝是个未知数。然而,哥德尔证明,即使这样简单的要求也无法实现。

现在,数学的基础仍然是按照形式主义学派的主张建立的:数学的一切就是一个个人造的形式系统,只不过,既无法构造完备的数学公理系统,也无法证明现在的数学内部无矛盾。

3 thoughts on “上帝是一位算术家还是一位几何学家?(上)

  1. 先生您好!
    在谷歌搜索实数系统时,无意中来到此地,浏览了一下网站的大概结构,看到了数学哲学,顿时起了兴趣。
    我最近在研究这个世界的结构,想要通过一种公理化的方式,将整个世界的规则抽象出来,组成一个体系。在体系中通过公理的推导来预测、描述世界。目前这个想法有了一点眉目,大概的框架已经建立,也有了初步的研究方法。
    看到先生这篇通过数学去猜想这个世界的起源、运行,在下非常激动,感觉自己打开了新世界的大门。这篇文章和自己的一些朦胧想法不谋而合,也给我提供了一些研究方向。
    不知先生是否使用知乎,我想把这篇文章转载到我的专栏,会标明署名和出处。同时开通打赏的功能,打赏的钱全部归先生所有。当然我现在还是一个小透明,钱肯定很少(其实还没人打赏过(●'◡'●) ),但是随着我的逐步成长,我相信我会影响越来越多的人。
    这是在下的专栏:https://zhuanlan.zhihu.com/c_45359780
    目前正式工作还没启动,蓝图还在我的脑海中。

    • 这位网友您好,我其实在您发表评论后不久就看到了,但由于在旅途中不便,所以现在才回复。非常感谢您的赏识,并且我很高兴我的某些文章能对您有所启发。您可以根据您的需要原文转载我的文章,只要标明出处即可。

    • 您开的知乎专栏我去浏览了,但因为目前文章数量有限,我对您提到的想法可能理解的比较粗略。我觉得您是一个很有想法的年轻人,有可能现在处于大学阶段?每个人年轻的时候都有一段青涩的理想主义精神洁癖时期,我也是从那一段时期走过来的,所以才有这里记录的很多文章。我不知道您现在学习的是什么专业,是偏人文、哲学类的还是偏向理工类的。用公理化和形式化逻辑的方法总结、推演人类知识这种想法不光你我在想,从古至今一代代哲学、科学家之中也有很多这样想过并且试行过,比如笛卡尔的“我思故我在”,就是从“我思考”这个公理推出“我”的存在性,然后推出这个世界的存在性,等等之后所有的哲学论述,可见他设置的公理是已经基础得不能再基础了。但是公理化思想除了在数学、逻辑这样相对封闭的系统中得以成功应用之外,在其他任何一门学科中都没有特别完满地贯彻下来,甚至,即使是数学,也不可能一劳永逸地用一套公理系统进行大统一,您可以了解一下十九、二十世纪初发展起来的关于元数学问题的探讨,尤其是哥德尔定理,这个定理大意是说,任何一个包含peano算术的公理系统,如果系统内部无矛盾,那么这个系统是不完备的,也就是总有可以用系统规定的符号表达的命题,在系统内部即无法证明也无法证伪。所以您要了解这些以便明确一个合适的目标和原则,您要建立的是一个什么样的公理系统,如果您追求逻辑的绝对无懈可击,只承认几条可信赖的公理,像初中几何宣称的那样,那您得到的应该是个不完备的系统,将有大量的问题无法概括;反之如果您想追求尽可能地解释更多问题,您的系统就必须动态地增长,也无法做到绝对的严格。您试图通过自己的思维去理解世界,这毕竟是好的,但我必须提醒您,不要因此而封闭,认为凡是与自己的系统相左的就是错误的,凡是自己的系统推演不到的就是无关紧要的甚至有意忽略。演绎系统在任何学科,即使是数学,也只是总结性的,给已有的发现套上枷锁使之固定,并不能启发新的发现,所以还要继续用心去体验生活,继续阅读去听听别人如何思考,才能使自己的想法日臻完善。

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