上帝是一位算术家还是一位几何学家?(下)

──复数的引入对柏拉图主义的支持

如果在数学的逻辑基础问题上过于追究,则数学的人为因素越来越大。这并不奇怪,如果问“为什么”问到终结,则答案只能归结为“第一推动”了。
然而,不要忘了,数学所描述的对象并不是人们凭空想象出来的,一个没有多少实用和理论价值而人为捏造的理论系统最终会被淘汰。数学的理论还是要为现实服务的,即使不能马上或直接地应用到现实中,至少也要间接地为那些服务于现实的理论服务,或至少在未来有可能成为指导现实的模型。数学中的人为因素与客观因素的关系颇像作家写的小说:作家写的小说大部分是虚构的,但作家不可能不着边际天马行空地编造,小说描述的至少应当折射出现实的影子,达到一种虚构的现实。即使是神话故事,也不应当不合情理。因此,作家写小说,经常会感觉到情节已经不受自己控制了,就好像小说里写的人物都是活的,写的事情都是正在实时地发生着一样。

对于数学,也有一种观点:虽然数学的概念并不独立地存在于现实中,却是存在于某个客观的“理念世界”中的。是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在,它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造,而是对这种客观存在的描述;数学新成果不是发明,而是发现。[1] 这就是数学柏拉图主义观点。之所以叫柏拉图主义,因为柏拉图提出过一个哲学观点,称为“理念论”,他认为世界由“理念世界”和“现象世界”所组成。理念的世界是真实的存在,永恒不变,而人类感官所接触到的这个现实的世界,只不过是理念世界的微弱的影子,它由现象所组成,而每种现象是因时空等因素而表现出暂时变动等特征。有一个著名的洞穴比喻来解释理念论:有一群囚犯在一个洞穴中,他们手脚都被捆绑,身体也无法转身,只能背对着洞口。他们面前有一堵白墙,他们身后燃烧着一堆火。在那面白墙上他们看到了自己以及身后到火堆之间事物的影子,由于他们看不到任何其他东西,这群囚犯会以为影子就是真实的东西。最后,一个人挣脱了枷锁,并且摸索出了洞口。他第一次看到了真实的事物。他返回洞穴并试图向其他人解释,那些影子其实只是虚幻的事物,并向他们指明光明的道路。但是对于那些囚犯来说,那个人似乎比他逃出去之前更加愚蠢,并向他宣称,除了墙上的影子之外,世界上没有其他东西了。柏拉图利用这个故事来告诉我们,“形式”其实就是那阳光照耀下的实物,而我们的感官世界所能感受到的不过是那白墙上的影子而已。我们的大自然比起鲜明的理型世界来说,是黑暗而单调的。不懂哲学的人能看到的只是那些影子,而哲学家则在真理的阳光下看到外部事物。[2]

这种观点听上去有点玄,但为了解释数学研究,尤其是涉及那些表面上看来离我们遥远的数学概念如无穷大的研究意义,以及人为创造的概念为何又不以人的意志为转移,数学为何又可以精确地用于实践,这种观点是不可忽视的。

下面举两个可以有力地支持数学柏拉图主义观点的例子,都是关于复数的:[3]

第一个例子,一元三次方程的求根公式:卡丹诺首先发表了方程 ax3+bx2+cx+d=0 的根式解法,过程如下:
第一步:通过坐标伸缩和平移变换,一般的一元三次方程都可以化简成 y3=3py+2q 的形式。因此只要找到这样的方程的根式解,所有的方程都可以解出了。另外当时复数的概念还没有被引入,所以本文以下只讨论这种形式的实系数三次方程。
第二步:设 y=s+t,代入方程,可得:
 \displaystyle s^3+t^3+3st(s+t)=3p(s+t)+2q
因此,只要s3+t3=2q, st=p,那么s+t就一定是方程的根。当q2-p3≥0 时,可以通过求解二次方程r2-2qr+p3=0先得到s3和t3,从而得到:
 s=\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}, t=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}
因此,y3=3py+2q 的解可以表示为
 y=\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}
我们暂且把它叫做卡丹诺公式。

现在,通过微积分方法容易得出,当 q2>p3 时,方程 y3-3py-2q=0 只有一个单实根;当 q2=p3≠0 时,方程有一个单实根和一个二重实根;当 p=q=0 时,方程只有一个三重实根;而当 2<p3 时,方程有三个不相等的实根。
即是说,如果把求解的过程完全限制于实数,那么所有包含三个不等实根的方程,这个根式解法都是无能为力的。
不仅如此,当 q2=p3≠0 时,方程明明有三个实根:一个单根和一个二重根,但在这个解法中却只能体现那个单根。

例如:考虑 x3-3x=0,为了讨论简便,特意找这个简单的方程。可以很容易地看出,它有三个实根:0,√3和-√3,然而,如果用卡丹诺公式解,中间会有√-1这样的数出现,方程的解变成这样:
 \displaystyle y=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{-\sqrt{-1}}.
如果人为地承认这些数,允许它们也参加运算,并规定(√-1)2=(-√-1)2=-1,那么可以得到相应的s与t的三对值如下:
 \displaystyle s=\sqrt{-1},t=-\sqrt{-1}
 \displaystyle s=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{-1}}{2},t=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{-1}}{2}
 \displaystyle s=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{-1}}{2},t=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{-1}}{2}
从而三个实根都可以得出。但是卡丹诺对这样的数表示不理解,不知道这是些什么数,而且,它们表现出了一些与实数完全不同的属性,例如:一个数的三次方根竟然有三个; \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}竟然不等于 \sqrt{(-1)(-1)},因此他把它们叫做“不可捉摸而无用的东西”。
但是,为了能够求出方程的根,人们不得不逐渐接受了复数,并作为一种人为引入的实数域的扩充域进入代数领域。

韦达在三次方程根式解法发表的四十年后,发现了当q2<p3时方程y3-3py-2q=0的另一种解法,而这种解法完全可以不涉及到虚数。他的巧妙解法如下:
由微积分方法可以知道,当q2<p3时,方程所有的根都是实的,而且都在 \left [-2\sqrt{p},2\sqrt{p}\right ]之间。那么设 y=2\sqrt{p}\cos\theta,代入方程得到
 p\sqrt{p}(4\cos^3\theta-3\cos\theta)=q
应用三倍角公式得到
 \cos3\theta=\frac{q}{p\sqrt{p}}.
只需取 \theta=\frac{1}{3}(\arccos{\frac{q}{p\sqrt{p}}+2m\pi}), m\in\mathbb{Z},则 y=2\sqrt{p}\cos\theta就是方程的根。(虽然也可以取 \theta=\frac{1}{3}(-\arccos{\frac{q}{p\sqrt{p}}+2m\pi}), m\in\mathbb{Z},但是由于和刚才那组角关于x轴对称,所以用这组角求出来的方程的根和刚才那组相同。)

假设当年卡丹诺自己能够同时得到这两种解法,那么他很有可能舍弃那个带有虚幻的数的解法而用韦达的解法作为补充。但是,如果当时有人这么思考:这种解法是否说明三次方程的解有某种几何意义呢?它和卡丹公式所表示的虚数解有什么联系呢?更大胆地猜测:虚数是否在表达着一种几何结构呢?那么虚数不至于那么无法理解。

当然,今天我们知道了,复数确实有某种几何意义,一个数的三次方根也确实和角度有关,韦达的方法只不过是不自觉地用三角函数的性质表达了这种关系,而三角函数的性质也只是这种关系的特例而已。因此,我的观点是,即使不引入复数,复数所表达的几何结构也是早已存在的,只是没有复数时,人们只能用一些曲折的方式认识这种几何结构的一小部分。

也许一个巧合不能使你相信什么,那么下面的例子更能使你相信:复数有某种几何意义,更不一般的是,复数所表示的几何结构是早已存在着的。
考虑xn-1的分解式,对于n=2,3,4,5的情形,列出多项式因式分解的式子如下:

x^2-1=(x-1)(x+1)


x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)


x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)


x^5-1=(x-1)(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)


...
有什么规律呢?
科茨发现,当x>1时xn-1的值恰好等于x到单位圆上以1为顶点的内接正n边形各顶点的距离之积。例如:

x^3-1=(x-1)\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\cdot\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}


图1 单位根与因式分解

图1 单位根与因式分解

当然,今天我们知道,取x1,x2,...,xn为1的n个n次方根,那么这些根对应的复平面上的点恰好是正n边形的顶点,并且xn-1=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)。因为复数单位根两两互为共轭,所以当x>1时,有
 (x-x_i)(x-\bar{x_i})=\left | x-x_i \right |^2.
但是,如果我们未曾引入复数,这个结论如何证明呢?
有一条道路应该是理论上可行的:因为实数是直线上的点的运算系统,那么我们可以把这种运算系统拓展到平面上,定义一种平面上的点的运算法则,给平面上的点集引入一种代数结构,从而把xn-1分解为平面上点的运算式的乘积,再根据点的运算与长度的关系得出结论。
然而这种代数结构,不正是我们的复数域吗?

总结两个例子:第一个例子,为了解三次方程,人们不得不引入复数,一些人认为复数完全是人为引入代数领域并完全为代数的目的而构造的。但是后来发现,实系数三次方程完全可以不通过复数求解,凡是从前必须通过复数才能求解的情况,都可以通过三角函数的方法解出。通过对比两种解法,可知它们都是平面几何上点的关系结构的不同表达形式而已。第二个例子,通过对xn-1的因式分解式的特征考察,我们知道了平面上的点有某种代数结构。与其说这种代数结构是人为引入的,不如说它是原本就有的,不管你是否承认,它都是存在的。你若无视它,它就会以一种你看不见的方式影响着你的实数系统,一旦你正视它,你会发现原来在一维实数中的某些真理可以在二维的复数中得到进一步的统一。因此,复数并不一定要从代数的角度引入,从几何的角度引入复数完全是有可能的。
由此可知,似乎是人为地引入并且很长一段时期内不被接受的复数,它所表现出来的几何规律——平面上的代数结构,是早已存在的,早在人们引入实数系统的同时,它就已经在那了。人们定义复数,只是对这种结构认识的开端。

上帝是否早已构造了一个客观存在的“理念世界”?我们数学上所研究的所有代数、逻辑系统是否最终都反映的是那个理念世界中的几何规律?

注:[1][2]:关于柏拉图主义的描述来自百度百科。
[3]:这是《复分析,可视化方法》第一章中的两个不起眼的实例。在这本书中,你可以看到更多有关复数客观实在性的例子。

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