无限论题暂停公告

经过好几个月这个话题一直没有再更新,因为遇到了两个不太好过的坎儿。
引入无穷的概念对数学家们来说是习以为常的。但我觉得从数学哲学的角度还是有些疑问。无穷在数学中处于什么样的地位?是必不可少还是可以绕道而走?在一个原本有限的公理系统中人为地加入一些无穷的对象,并加入了关于无穷对象的公理之后,新的系统与原来的系统相比,客观性保持不变还是减少了?需要先对哥德尔定理和模型论有深入地了解才能思考这个问题。现在我还缺少这方面的背景知识,几次试探地继续写,自己都无法满意。
还有一个回避不了的问题是悖论。看清楚悖论产生的根源比知道如何解决悖论更重要(更准确地说,如果不理解它们是如何产生的,就无法理解它们是如何被解决的,充其量只能算是回避)。因此接下来的论题就是讨论为什么会产生这些悖论,它们到底是些什么东西。这方面的内容我觉得我看过的所有的书中说的都不清楚,我怀疑写这些书的人是否真正把这些悖论想清楚了,他们只是人云亦云。从罗素的论著中摘抄出只言片语,不求甚解地写到自己的书里了。我想真正把悖论看得清析一些,这方面我自己有一些想法,但不成熟。也不会轻易地写出来。

过了这两个坎儿,后面的内容就相对平坦了:计划要从非标准分析的角度重新认识无穷小和无穷大,讨论超实数的形态。虽然最初的非标准分析是从模型论中发展而来的,但后来出现了非标准分析的一些简易模型,这部分还是很好理解的。然后试探地在超实数系统下引入无限小数。因为有理数在超实数系统中并不稠密,也就是说无法找到一个有理数列去逼近一个非零的无穷小,所以一般的无限小数无法精确地表示每个超实数,它们只能精确到无穷小单子的级别,为了对无穷小单子内部进行刻画,需要某种“超级”无限小数。

写这些东西对我来说还是太费时,本来业余时间就少,有那么多重要的事情要做,那么多东西要学,不可能把有限的业余时间都花在写作上面。另外,对这些“没用”问题的思考也让我错过了另外一些更重要更有趣的内容,现在是想办法弥补一下的时候了。

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