Linear Algebra Done Right第一章注记和部分习题

注记部分:

有关子空间和与直和的讨论:

如果 V_1, V_2是向量空间U的两个线性子空间,那么下面两个命题等价(见17页命题1.9):
1) V_1+V_2是直和;
2) V_1 \cap V_2=\{0\}
这种关系是否可以推广到多个子空间的情况呢?也就是说是否有n个子空间两两相交于零点,就说明它们的和是直和呢?

这是不一定的。设想三维空间中三条坐标轴,再加上另一条过原点但异于坐标轴的直线,三条坐标轴的直和就是整个三维空间,显然它们和第四条直线的和不可能是直和。但是可以对子空间的交集提出这样的要求:
对每个 k=2,3,4,\dots,n, (V_1+V_2+\dots+V_{k-1})\cap V_k=\{0\}
如果满足这个要求,那么它们的和就是直和。这个条件也是多个子空间的和是直和的充要条件。证明用数学归纳法很容易。
先把这样一个命题弄清楚了,后面的关于不同特征值的特征向量线性无关的证明思路就变得很容易。

还有一个看似更强的要求,但实际上与上面的那个要求是等价的:
 V_1,V_2,\dots,V_n中任意不重复地取出两组子空间来: V_{i1},V_{i2},\dots,V_{ir}  V_{j1},V_{j2},\dots,V_{js},其中 V_{ik}\not = V_{jl},都满足 (V_{i1}+V_{i2}+\dots+V_{ir})\cap (V_{j1}+V_{j2}+\dots+V_{js})=\{0\}
可以证明这个条件也是若干子空间的和是直和的充要条件。充分性可以利用上面的命题,必要性证明方法类似于命题1.9。

部分习题解答:

9 证明 V的两个子空间的并集也是 V的子空间当且仅当其中一个子空间包含于另一个子空间。
证明:必要性:设 U_1,U_2是要讨论的两个子空间,且 U_1\not \subset U_2,那么 \exists u_1 \in U_1, u_1 \not \in U_2 \forall u_2 \in U_2,因 U_1\cup U_2是子空间,故 u_1+u_2\in U_1\cup U_2。若 u_1+u_2\in U_2,则 u_1=u_1+u_2-u_2 \in U_2,矛盾。因此 u_1+u_2\in U_1,则 u_2=u_1+u_2-u_1 \in U_1。故 U_2 \subset U_1
充分性显然。

4 thoughts on “Linear Algebra Done Right第一章注记和部分习题

  1. 您好,我现在在上linear system theory课程,老师强烈推荐读linear algebra done right这本书,我的英文不太好,请问您知道有相近的中文书吗?谢谢你,万分感谢。

    • linear algebra done right 有中译本《线性代数应该这样学》杜现昆 马晶 译,中国人民邮电出版社,在中国大陆发行。现在网上大概没有中文电子书下载,

  2. 你好,你说的两个命题等价是不是缺少了一个条件?应该在命题2)加上:V1+V2=U,对吗?

    • 你好。但这里没有引入 U 而直接说 V1+V2 是直和等价于 V1∩V2={0},当然你也可以说 “U是 V1与 V2 的直和等价于 U=V1+V2 且 V1∩V2={0}”。两种说法是一样的,不是吗

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