Linear Algebra Done Right第三章注记和部分习题

注记部分:

1 线性无关性和线性相关性在线性映射作用下的表现

你可能听说过向量空间同构这个概念,两个向量空间 U 和 V,如果它们之间存在可逆的线性映射 T,那么这两个向量空间同构。
从向量空间本身的性质来讲,两个同构的向量空间可以不分你我,对应的向量之间有相同的线性关系,整个空间的维数也相同。
设 \( u_1,u_2,\dots,u_r\in U\),那么 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 线性相关(无关),当且仅当 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 也线性相关(无关)。这是因为,\( T\) 和 \( T^{-1}\) 都是线性映射,因此 \( a_1u_1+a_2u_2+\dots +a_ru_r=0\) 当且仅当 \( a_1Tu_1+a_2Tu_2+\dots +a_rTu_r=0\)。
那么,如果无法保证 \( T\) 是可逆的,我们只能保证当 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 线性相关时 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 也线性相关,或者当 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关时 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 也线性无关。这是很简单的道理。

那么当 \( T\) 不是单射时,如果 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 线性无关,什么时候可以保证 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 也是线性无关的呢?即还需要给 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 增加什么样的条件才能保证 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关?
欲使 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关,需要方程 \( a_1Tu_1+a_2Tu_2+\dots +a_rTu_r=0\) 没有非零解,而此即方程 \( T(a_1u_1+a_2u_2+\dots +a_ru_r)=0\)。欲使此方程没有非零解,需要当 \( a_1,a_2,\dots,a_r\) 不全为零时 \( a_1u_1+a_2u_2+\dots +a_ru_r\not\in \textrm{null }T\),也即 \( \textrm{span}(u_1,u_2,\dots,u_r)\cap \textrm{null }T=\{0\}\)。

因此,有下面的命题:

命题1: \( T\) 是从向量空间 \( U\) 到 \( V\) 的线性映射,\( u_1,u_2,\dots,u_r\in U\),那么当且仅当 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 线性无关,并且 \( \textrm{span}(u_1,u_2,\dots,u_r)\cap \textrm{null }T=\{0\}\) 时,\( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关。

从这个命题出发,不但能启发出值域-零度定理,还可以得到书上关于值域-零度定理的证明思路。并且,这个命题本身应该也是比较重要的。

2 反向思考值域-零度定理

如果不知道值域-零度定理,是否可以知道从低维空间到高维空间没有满的线性映射?
因为 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关时 \( u_1,u_2,\dots,u_r\) 也线性无关,这表明值域的维数不可能比定义域的维数大。

我们知道当取定义域中的一组基底 \( u_1,u_2,\dots,u_n\) 后,\( \textrm{range }T=\textrm{span}(Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_n)\)。如果值域的维数比定义域的维数小,那么小了多少由什么来决定的呢?
我们知道在值域的维数比定义域小的时候 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_n\) 不可能线性无关。那么在 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_n\) 中选取极大线性无关组 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) ,其它 \( Tu_i\) 可以用这 r 个向量线性表示,即 \( Tu_{r+i}=f_i(Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r)\) 也即 \( T(u_{r+i}-f_i(u_1,u_2,\dots,u_r))=0\)。因此 \( u_{r+i}-f_i(u_1,u_2,\dots,u_r)\in\textrm{null }T\)。设 \( v_i=u_{r+i}-f_i(u_1,u_2,\dots,u_r)\),注意到在定义域中,\( u_1,u_2,\dots,u_n\) 线性无关,因此 \( u_1,u_2,\dots,u_r,u_{r+1}-f_1(u_1,u_2,\dots,u_r),\dots,u_n-f_{n-r}(u_1,u_2,\dots,u_r)\) 也线性无关。而 \( v_i=u_{r+i}-f_i(u_1,u_2,\dots,u_r)\in\textrm{null }T\),因此 \( \textrm{null }T\supset \textrm{span}(v_1,v_2,\dots,v_{n-r})\)。接下来就是想办法证明 \( \textrm{null }T=\textrm{span}(v_1,v_2,\dots,v_{n-r})\),从而 \( \textrm{dim null }T=n-r\)。
\( \forall w\in\textrm{null }T, w=u+v\) 其中 \( u\in\textrm{span}(u_1,u_2,\dots,u_r), v\in\textrm{span}(v_1,v_2,\dots,v_{n-r})\)。那么有 \( v=w-u\in\textrm{null }T\)。因 \( Tu_1,Tu_2,\dots,Tu_r\) 线性无关,根据命题1,可知 \( v=0\)。这样就有 \( \textrm{null }T=\textrm{span}(v_1,v_2,\dots,v_{n-r})\),从而 \( \textrm{dim null }T=n-r\)。因此值域-零度定理成立。

当然,在历史上,这个值域-零度定理绝对不是从这样的抽象符号和理论的思考中得到的,早在线性代数发展的早期,人们的主要精力集中在对线性方程组的解结构的研究,人们可能是通过线性方程组系数矩阵的秩与解空间维数之间的关系看到了秩-零度定理,从而在后来推广到一般的线性映射上来的。

一个数域 \( K\) 上的有限维的线性空间,都同构于 \( K^n\),在有限维线性空间之间的映射也可以与数域上的矩阵构成空间同构,对线性映射零空间的研究也完全等同于对数域上的线性方程组的解空间的研究,那么为什么还会有这种抽象符号表达的线性代数体系呢?它是从什么时候开始出现,它的始作俑者又是谁?它存在的意义究竟有多大呢?

3 值域-零度定理与商空间

对值域-零度定理最透彻最符合直觉的解释是利用商空间和第一同构定理。这方面在一些线性代数书中已经涉及到(如李炯生、查建国版本《线性代数》),请在网络上搜索这方面的内容。

4 映射的逆、左逆与右逆(参见本章练习14与15)

设 \( f\) 是集合 \( M\) 到 \( N\) 的映射,\( i_M\) 和 \( i_N\) 分别是 \( M\) 和 \( N\) 上的单位映射。如果存在 \( N\) 到 \( M\) 的映射 \( g\) 使得 \( f\circ g=i_N\) 则称 \( g\) 是 \( f\) 的右逆,如果存在 \( N\) 到 \( M\) 的映射 \( h\) 使得 \( h\circ f=i_M\),则称 \( h\) 是 \( f\) 的左逆。

命题2: \( f\) 有左逆,当且仅当 \( f\) 是单射;\( f\) 有右逆,则 \( f\) 是满射。如果承认选择公理,那么 \( f\) 有右逆,当且仅当 \( f\) 是满射。
证明: 如果 \( f\) 有左逆,即存在 \( N\) 到 \( M\) 的映射 \( h\) 使得 \( h\circ f=i_M\),那么 \( f(x)=f(y)\Rightarrow (h\circ f)(x)=(h\circ f)(y)\Rightarrow x=y\)。这说明 \( f\) 是单射。
如果 \( f\) 是单射,我们可以构造 \( f\) 的左逆 \( h\) 如下:取定 \( x_0\in M\),\( \forall y\in N\),如果\( \exists x\in M,f(x)=y\),则定义 \( h(y)=x\),否则令 \( h(y)=x_0\)。这样定义的 \( h\) 就是 \( f\) 的左逆。
如果 \( f\) 有右逆,即存在 \( N\) 到 \( M\) 的映射 \( g\) 使得 \( f\circ g=i_N\),那么\( \forall y\in N, g(y)\in M\) 且 \( f(g(y))=y\)。
如果 \( f\) 是满射,我们可以用选择公理构造 \( f\) 的右逆如下:\( \forall y\in N\),从 \( y\) 的原像集合中选取一个 \( x\),令 \( g(y)=x\)。

一般来讲,如果一个映射只有左逆或只有右逆,那么它的左逆或右逆都不是唯一的。但是如果一个映射既有左逆又有右逆,那么它的左逆和右逆都是相等的。

命题3:\( f\) 既有左逆又有右逆当且仅当 \( f\) 是一一映射。并且此时 \( f\) 的左逆与右逆是唯一确定且相等的。
证明:利用命题2证明第一条,因为 \( f\) 是一一映射,并不需要选择公理。
欲证第二条,首先证明 \( f\) 的所有左逆相等,所有右逆相等。
设 \( g\) 与 \( g’\) 是 \( f\) 的右逆,有 \( f\circ g=f\circ g’\),那么因为 \( f\) 同时有左逆,取 \( f\) 的左逆 \( h\),有 \( h\circ f\circ g=h\circ f\circ g’\),即 \( g=g’\)。即所有右逆彼此相等。
同理可证所有左逆彼此相等。
接下来证明左逆等于右逆。
设 \( h\) 与 \( g\) 分别是 \( f\) 的左逆与右逆,那么 \( g\circ f=(h\circ f)\circ (g\circ f)=h\circ (f\circ g)\circ f=h\circ f=i_M\)。这说明右逆同时也是左逆,因此右逆等于左逆。

如果\( f\) 是一一映射时,就把 \( f\) 的左逆或右逆称为 \( f\) 的逆。

部分习题解答:

2 例举一个函数 \( f : \mathbf{R}^2\rightarrow \mathbf{R}\) 使得 \( f(av)=af(v)\) 对任意 \( a\in \mathbf{R},v\in \mathbf{R}^2\),但是 \( f\) 不是线性映射。
解答:设 \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\textrm{sgn }x\),这个函数满足题设条件但不是线性函数。

4 设 \( T\) 是向量空间 \( V\) 到数域 \( \mathbf{F}\) 的线性函数,证明如果 \( u\in V,u\not\in \textrm{null }T\),则 \( V=\textrm{null }T\oplus\{au : a\in\mathbf{F}\}\)。
证明:设 \( \textrm{dim null }T=r\),因为 \( u\in V,u\not\in \textrm{null }T\),所以 \( \textrm{dim }(\textrm{null }T\oplus\{au : a\in\mathbf{F}\})=r+1\) (这两个子空间的和是直和)。因 \( \textrm{dim range }T=1\),故 \( \textrm{dim }V=\textrm{dim }(\textrm{null }T\oplus\{au : a\in\mathbf{F}\})\),因此 \( V=\textrm{null }T\oplus\{au : a\in\mathbf{F}\}\)

11 证明如果 \( V\) 上存在一个线性映射 \( T\) 且它的值域与零空间都是有限维的,那么 \( V\) 是有限维的。
证明:因为书上证明值域-零度定理时是以 \( V\) 是有限维空间为基础,所以直接用这个定理不妥。
设 \( T\) 的值域维数为 r,零空间维数为 s,我们可以取任意维数的子空间,比如,r+s+1 维的子空间,将 \( T\) 限制在这个子空间中,然后利用值域-零度定理,可断定这个子空间的像的维数大于 r,已经超过了整个定义域的像的维数了。

16 设 \( U\) 和 \( V\) 是有限维向量空间,并且 \( S\in L(V,W), T\in L(U,V)\),证明
\( \textrm{dim null }ST \le\textrm{dim null }S+\textrm{dim null }T\)
证明:因为 \( STv=0\) 当且仅当 \( Tv\in\textrm{null }S\),故\( \textrm{null }ST=\{v | Tv\in\textrm{null }S\}\)。设 \( W=\{v | Tv\in\textrm{null }S\}\),考虑 \( R=T|_W\),有
\( \textrm{dim null }ST=\textrm{dim null }R+\textrm{dim range }R\le\textrm{dim null }T+\textrm{dim null }S\)

22 设 \( V\) 是有限维向量空间且 \( S,T\in L(V)\)。证明 \( ST\) 可逆当且仅当 \( S\) 与 \( T\) 都可逆。
证明:必要性,\( ST\) 可逆当且仅当 \( \textrm{dim range }ST=\textrm{dim }V\)。因为 \( \textrm{dim range }ST\le \textrm{dim range }S\) 与 \( \textrm{dim range }ST\le \textrm{dim range }T\),所以 \( S\) 与 \( T\) 都可逆。
充分性,当 \( S\)、\( T\) 都可逆时,\( T^{-1}S^{-1}\) 就是 \( ST\) 的逆。

23 设 \( V\) 是有限维向量空间且 \( S,T\in L(V)\),证明 \( ST=I\) 当且仅当 \( TS=I\)
证明:根据上题,如果 \( ST=I\) 或 \( TS=I\) 那么 \( S\) 与 \( T\) 都可逆。则 \( ST=I\) 当且仅当 \( S=T^{-1}\),当且仅当 \( TS=I\)。

24 设 \( V\) 是有限维向量空间且 \( T\in L(V)\),证明 \( T=aI\) 当且仅当对任何线性映射 \( S\in L(V)\),有 \( ST=TS\)。
证明: 如果\( T=aI\) 则显然 \( ST=TS\)。
如果对任何线性算子 \( S\) 有 \( ST=TS\),那么在 \( V\) 中任取非零向量 \( v\),取 \( v,e_1,e_2,\dots,e_n\) 成为 \( V\) 的基底,定义线性映射 \( S\) 使得 \( Sv=v, Se_i=0, i=1,2,\dots,n\)。则 \( Tv=TSv=STv=S(av+a_1e_1+\dots+a_ne_n)=av\)。也就是说任意非零向量 \( v\),存在一个数 \( a\) 使得 \( Tv=av\)。
下面证明任意两个方向上所对应的 a 都相等。
设 \( v_1,v_2\not=0, Tv_1=a_1v_1,Tv_2=a_2v_2\),如果 \( a_1\not=a_2\),则这两个向量线性无关,考虑 \( T(v_1+v_2)=a_3(v_1+v_2)=a_1v_1+a_2v_2\),即 \( (a_3-a_1)v_1+(a_3-a_2)v_2=0\),因此 \( a_1=a_3=a_2\),矛盾。
因此 \( T=aI\)。

第四章 多项式 为非重点章节,并且内容未超出高中数学知识,故略过。

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