理解矩阵与矩阵乘积(三)

四、线性映射的复合

我们已经定义了行向量与列向量的乘法和矩阵与列向量的乘法,现在还差矩阵与矩阵的乘法没有定义。而矩阵与矩阵的乘法要与线性映射的复合联系起来。

 U V W 分别为 r 维、n 维、m 维向量空间。 g f 分别是  U V V W 的线性映射,那么易证两个线性映射的复合  f\circ g 也是线性映射。

取三个向量空间的基底,那么三个向量空间就有了坐标系统,如果知道了  f g 在坐标系统下的表达式,即按前面所述,知道了它们对应的矩阵: f(v)=Av g(u)=Bu,其中  A m\times n 阶矩阵, B n\times r 阶矩阵,那么  f\circ g 对应的矩阵是什么呢?

依据直观的推导, f\circ g(u)=f(Bu)=A(Bu)=ABu,好像  f\circ g 对应的矩阵就是  A,B 两个矩阵的乘积,但是,我们目前并没有定义它们的乘积是什么,所以最后一个等号目前来讲还是没有意义的。

那么,我们就以求两个线性映射的复合映射所对应的矩阵为目的,定义两个线性映射的复合所对应的矩阵就是这两个映射对应矩阵的乘积,那么这个乘积如何来求呢?

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