【转】丘成桐:漫谈微分几何

今天很高兴能够在各位面前讲讲我做学问的经验,可以供大家参考一下。我讲「如何学好微分几何」的题目,主要是想跟大家讲讲有关于从前我做学问的态度,因为我是做几何的,所以我就讲做微分几何。很明显的,大部份的同学不会选几何,不过没有关系,其实就是讲讲我做学问的态度。

首先,讲讲我从前的一些经验。我从前在香港长大,在香港念中学、大学,然后到美国念研究所,所以至少在前一半跟大家的经验应该差不了太远,不过是时代有点不同。我在多年前念数学,你们现在念数学,看法上已经有许多不相同,事实上我也不太了解你们现在的想法。不过基本上,我们都是中国文化出生的,所以我想仍有一部份共同的地方。基本上我们是要讲怎么作科学研究,也就是纯科学的研究,我们要看的是我们的志向是怎样的。假如我们想做一个好的科学家,当然我讲的是怎么做一个好的数学家。先说我自己的经验,我从前在香港培正中学念中学的时候,就开始对数学有兴趣。当然还有一些其它的课程,我对数学有兴趣,一方面是受到我家庭的影响,我父亲是做哲学的,所以对于念数学一直都相当鼓励,到了中学以后,我父亲去世了。不过也因此对于自然科学有很浓厚的兴趣。另一方面受老师的影响也很大。我想很重要的当我们开始要做一个学问,尤其是你真的要做一个出色的科学家,跟你的兴趣和你一开始所立下的志向有很大的关系。就是说,开始的时候你期望能够做到什么。假如说开始的时候你根本不想做一个好的科学家,那么你就永远也不可能做一个好的科学家。从前有位大学老师跟我讲说:「假如你不买马票,你永远也中不了。」倒不是说我鼓励你们去买马票,是说假如你不准备做好的科学家,就永远也做不了一个好的科学家。不过是不是讲,你想做一个好的科学家,你就可以做个好的科学家呢?当然不是,你还要有很多其它的因素在里面,我想第一点是要你将做人的目标先决定。

我在国外二十多年了,也教了不少的学生,有些在世界上算是很出名,但有些不是太行。从这方面来讲,比较好的学生和不好的学生我可以晓得不同的经验。我想好的学生大部份一开始就决定他要做到什么程度的科学家,从很早就可以看得出来,因为有了志向以后,才晓得怎么去用功、怎么去花时间在上面。这看起来倒是老生常谈,因为你从小学、中学到大学,大概很多老师都跟你讲同样的意见,可能你听多了都觉得没有什么意思,但是事实上这是成功的第一个因素。我的一位老师跟我讲,你要决定以后你想做什么,讲明了,不是为名就是为利。当时我很惊讶,老师为什么讲这一句话。我们不能否定大部份的想法不是为名就是为利,同时这个想法也推动了不少科学的研究。不过我们也晓得,单是为名为利不可能将科学达到最高峰的研究,我们一定要对这个科学有浓厚的兴趣。我们应当晓得,做科学,我们有一个很纯正的想法,就是对真理的追寻,在真理的背后有一个很漂亮的境界在里面,我们到了一个境界以后,对我们追求学问的人来讲,是无法抗拒的,就算是没有名没有利,我们也希望能够将这个真理搞清楚。举例来讲,如果你喜欢下棋的话,有时你会晓得下到一半的时候,结局会是怎样,你非为名也非为利,当然可以讲说你是为了好胜,但是有时候你总是想追求,想晓得怎么解决这个问题。在科学上来讲我们要追求的是比这个高的境界。我为什么讲为名为利这个事实呢?举例来讲,我们这几年在哈佛大学里教了几个在大学里念数学念得很好的学生,可是到了毕业的时候,我晓得他们明明对数学有很大的兴趣,但是他们选取了完全不同的途径,他们有些人宁愿选取做生意或是到银行里面做事。我并不反对你们去做生意、赚大钱,我失望的缘故是因为这些学生明明是对做学问兴趣特别大,但是他们没有办法去抗拒赚钱的引诱而放弃了继续做学问的前途,有些人甚至过了几年赚了钱,又想重新再做学问,但问题是无论你资质有多好,一般来讲你将做学问的机会放弃以后,再想重新做起将会遇到许多困难。并不是说不可能,也曾有这种情形发生过,但是真正能够达到的情形,几乎是绝无仅有,做学问是不能中断的。我遇见过很多朋友,有些甚至是很有名的数学家,他们有些人会讲我现在一方面做行政的工作,一方面可以做学问,可是事实上,这是没有办法可以达到两者兼顾的情形。我们晓得做学问几乎是全心全意的工作,当对证明追寻的时候,很难说受到其它外界的打扰,仍能够达到很高的成功的。以我的经验来讲,在想问题的时候,晚上睡觉也在想这个问题,躺在床上也在想,早上起床第一件事就是想这个问题。我并不是讲你们也要这样子,我是希望你们在遇到一个问题要解决的时候,你要全力以赴,不可能在中间慢慢想一点而在其它也可以花点功夫,这样精神不集中的态度是不可能做好学问的。我想对大家做个建议,假如你想做个真正的好科学家的话,就不能够再往回走,假如你想做生意,那干脆一开始就不要想这个问题,并不是你要做个好的教员就要照我刚才讲的,要花这么多功夫,倒是要念好科学这是很重要的,所以这是第一点,立志很重要。

第二点我要讲的,我在国外多年,遇见过许多很出名的数学家,甚至许多有名的物理学家我也见过许多。在我认为并没有一个是真正的像一般报纸上所讲的是天才,在我所亲身认识的大科学家,都是经过很大的努力,才能够达到他所达到的成就。我的学生问我:「为什么你做的比我好?」,我说很简单,我比你用功。我在办公室或是在家里边,我天天在想问题,你们在外面玩,而我花了功夫在解决想了很久的问题,我总比你不想、不花时间成就大一点。你可能去听个大科学家或大数学家演讲,你会觉得漂亮得不得了,怎么一个人能够讲得这么好!这个人是个天才!可是你有没有想到,他在后面准备花了多少时间想这个问题?大概你们听过最出名的科学家费因曼,《费因曼物理》注1漂亮得不得了,所有出名的物理学家都这么讲,去听的人不是学生,都是老师或物理学家。费因曼在准备费因曼物理的时候是什么事都不做,就只有脑子在花功夫,整天在想这个问题,跟许多学生不停的在谈这个问题。费因曼是个有名的天才,可是他准备这个研究也花了许多不同的功夫。我想很多出名的科学家在有所表现出不同的时候,你会觉得他是天才,事实上他用在后面的功夫都是很不少的。

有许多很聪明很厉害的人可能是研究生甚至是教授,往往你给他一个问题,他可以很快给你一个答案,同时是很不错的一个答案。可是很多这样出色的学生或是教授,过了很久以后,你总会觉得他没有做出很好的成绩出来。问题是,你解决的问题太容易了;没有再花很多精神去考虑这个问题。尤其在我们中国人最缺乏的,就是在做中学生或是大学生的时候,没有将一个问题从头到尾仔细考虑清楚,并没有真正的全部了解,这是个很重要的问题。从一个很小的问题,我们可以引发很多不同而且有意
思的问题。思考要自己训练,不单是在联考或在大学的时候,老师出个题目,你考了一百分就完了,假如这样的话,你很容易就满足你自己,你不觉得问题有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的问题里面,不停的思考所找出来的,很多人因为很快将问题解决了,便不愿再想下去,所以不能够再启发新的东西。科学的研究,不是解决人家已经晓得的问题。当一个科学家问一个好的问题的时候,即是成功的一半。因为科学的推动是从不断的找寻新的问题,新的方向出来的,解决从前的问题虽是个重要的推动方向,可是我们还要找出新的方向,而不单是解决从前的问题。我们知道在物理上解决问题的时候,往往大的或出名的公式是将前面固定的理论推翻,而找出新的路子。为什么大数学家或大物理学家能够做到这个地步呢?因为他们不断的问问题。有时候在一般人来讲很明显的问题,在出名的科学家看起来,就不见得很明显。为什么不明显呢?因为我们有不同层次的问题要一路考虑下去。问问题的能力是一个很重要的训练,并不是花很多功夫就可做到,我想在我们中国的小学、中学或大学里都没有很好的做到这一点,我想从小应该做到这一点的。

在我们来看数学跟其它物理、化学或生物等实验科学有那些不同?物理或化学等科学是从一般实验、现象界所找的题目,最后再经过实验的证实,才能算是个成功的理论。理论物理学家可以发展很多不同漂亮的理论,但最后假如不能够在实验里做出来的话,对物理学家来讲就是一篇废话。数学家有个好处。就是说,我们做了学问,一方面大部份是从一般的科学里面产生给我们的,一方面可以当作文学作品来欣赏。我们的取材多采多姿,一方面是比较基本的,从自然界或物理上的基本粒子、广义相对论、重力场去拿出很多基本的大自然的问题。这方面对近代几何学上的影响很大,另一方面可从比较没那么基本的理论里发生出来。所谓不基本,并不是说不重要。我们要了解到我们有些问题是从工业界来的,譬如说做飞机、做螺丝,甚至做流体变动的问题,都是可产生许多有趣的几何问题或是数学问题。例如说机械人手怎么去拿东西?这都可以看做是基本的几何问题,物理学家不一定有兴趣,可是数学家却有很大的兴趣。另外我们也可以对与实际问题不相近的问题产生兴趣,我们对一个图画得漂不漂亮,我们也可以在数学上研究。几何在数学上的取材有三个不同方向:第一是从基本自然界里产生的问题。从基本粒子、重力场到电磁波基本上如何产生的种种重要几何问题,从表面上你看不出来为什么它跟几何有关,但事实上近代物理将很多这种基本场论的问题变成几何问题,对微分几何来讲有很大的贡献。第二是刚才所讲,工业界与古典力学出了很多很重要的几何问题。第三就是纯粹从美的观点来找问题。举例来讲,从数论里面找了许多很漂亮的问题,尤其是近十或二十年来,大部份重要的数论问题大多是用几何的方法来解决的,这是几何在数学上三个重要的取材方向。

我为什么讲取材的问题呢?因为很多中学生或大学生在念几何或是某些数学课程的时候,认为我们念那个学科就念那个学科就够了,而不要念其它的学问,这是个很错误的观念。因为数学里面每一门的学问都有密切关联的,不单是数学,其实所有的理论科学中间都有很密切的关系。例如我们刚刚所讲的,高能物理与数学的关系,或是化学甚至生物都跟数学有很大的关系,所以我想怎么学几何呢?第一点是当你决定好要做一个好的几何学家时,你一定要广泛的学不同的学问,基础要比较广,如微分方程代数、物理学以及其它学科,至少在心理上有个准备,就是说这些学科将来是对你有帮助的。你听起来会觉得这是很困难的事情,你不可能学会这么多种不同的学问。这主要的分别就是你要有一个层次,你的专科是那一方面,就要多学一点,但不可忘掉其它的学科。有时在某个意义下,我们可以很惊讶的看到同一个学问、同一个命题,在两个不同的学科里面,可以以不同的方法出现,就是说以不同的方法证明。我想主要的原因是根本上这两个学科的分别并不是很大。在几十年前有个出名的物理学家说数学有不可思议的力量。为什么数学能够在物理上有这么大的影响呢?因为从物理学家的看法,数学家祇是在玩一些简单的符号,纯粹是在家里想一些自己的问题,与自然界的关系好象不大,其实这是个错误的想法。我们数学家研究的问题是很具体的,只是有不同的层次,所以有点不同而已。举例来说我们研究微分几何上一个最简单的图形-圆球,这圆球可以说是一个抽象的观念,我们也可以说它是自然界很具体的一部份。也就是说我们将所研究的圆球视为自然界的一部份,其实跟物理的现象差不了太远的。尤其在现代的高能物理里,我们研究基本粒子,尤其到了量子力学的观念以后,因为能量已经到了很高的地步,所以有很多根本没有办法做实验,所以基本上也是在家里或课堂里或办公室里用纸笔来算,这跟数学家想象的差不了太远。假如物理学家可以这么做,表示数学家也能够坐在家里面而对自然界达到某种程度的了解。

为什么我要讲这些呢?这些与微分几何有什么关系呢?我要讲的是你在选题的时候,我们虽然有个自由度对于选题与自然界无关,但是我们也有一个限度在里面,假如我们选的问题与现实相差太远,最后我们的命题会被淘汰掉。在历史上出现很多不同的研究,过了十年、二十年后就完全被淘汰的。你看现在的图书馆里面有许多的文章出现,不过再过个十年八年以后,我想大部份的文章是会被淘汰掉的,根本在整个数学历史上起不了任何作用。这是因为很多的文章实在没有解决问题,其次是对我们研究的对象没有产生任何效果。所以虽然我们数学界不用时间来做证明,可是我们有某种程度的测试。一般来讲,证的很好的数学,二十年或五十年内都可以看到它在现实里出现帮助。我们晓得在这个二十年以来,从前许多不重要的问题,在今日的工程上发生很大的影响。举例来讲,从前在数论里对于质数的搜查这个问题,这完全是一个无聊的命题。就是说一个很大的数,你怎么将它因子分解得很快。近十多年来,在国防科学上这问题变成一个重要的命题,有许多国防科学家在做这方面的研究,所以说数学上的选题很重要。为什么因子分解很重要呢?表面上看来跟真正的用途好象没有什么关联,可是它是一个很自然的问题,一个很大的整数它怎么分解,很快地,表面上并不重要,但可以帮助我们了解质数的分布情形,所以我说选题是一个很重要的问题。我记得从前我们在做大学生的时候,花了很多功夫去念一些文章与参考书,有些对数学来讲是很无意义的,可是反过来说因为花了很多功夫,所以可以了解到有些问题比较重要,有些问题比较不重要,所以花的功夫并没有白费。

其次我们讲做一个学生应该是怎么一个看法。对于做数学或做微分几何来讲,我觉得研究的气氛很要紧,尤其在中国的环境里
,好象是不太容易培养出这种气氛来。假如你旁边的朋友或同学跟你谈的都是其它的问题,譬如说股票涨了或跌了或其它问题,久而久之,你大概对于做学问也没有很大的兴趣,所以培养做学问的态度与你交的朋友、跟的老师的关系很大。如果你们时常讨论学术上的问题,你就不会觉得自己很孤单,能够激励你对数学上有更大的兴趣。假如你自暴自弃,就是说你认为自己不能够在数学上做研究,不能够在数学上达到贡献的话,你永远也达不到,而且同时也影响到你旁边的朋友,使得大家都不能向前走。我们晓得许多出名的数学家甚至在牢里也可以写一些出名的文章,倒不是你永远关在牢里就能做好的文章,是说人在最困难的时候也可以做研究。除了气氛很重要外,你也需要得到先进的支持,从前我们念中学的时候,念了很多关于做学问的方法,从前觉得很好笑,以后念书念得多了以后就觉得这些很重要,事实上这些是很重要的经验。有句话说「学而不思则罔,思而不学则怠」,你单是学而不想是不行的,你单是想而不学也是不行的,这两句话看起来很简单,其实就是怎么分配你的学习跟思想,这是一个很微妙很重要的问题。一个人无论你多用功多天才,你假如不将前人做过的东西去体验去学习,是不可能做好的。这道理很简单,一个人的智能有限,我们不可能与前面十年、五年所有人做过的加起来的智能相比,我们要靠前人的经验,要靠他们的启发,才能够向前迈进,虽然有人自夸的讲比他们加起来都行,我不相信这种情形,也没见过这种情形。所以出名的贡献如爱因斯坦、牛顿的贡献,也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以学是一定要的,可是如果你学过这个东西以后而不去思考,不去消化,就算你可以考第一,考一百分,但是你不想是绝对没有用的。我们看过很多出名的天才,十二岁就拿到学士学位,甚至拿了很高分,可是往往我们看不出他以后的成就。为什么很多所谓的天才在以后的科学发展里没有任何的贡献?这是因为他们没有思考,没有思考在科学上完全不会引起任何的波澜、任何的贡献,对于整个科学完全没有好处。所以学了以后一定要思考,怎么分配你的学习跟思考就往往要有导师的帮忙或是同学的帮忙。所谓的帮忙并不是说老师跟你讲你应当这么做或应当怎么做,这样往往是没有很大的效果,所以我刚刚讲的气氛很重要。从人家用功的程度或是讲话的态度的启发,或是讲话的时候能够去听,追根出什么东西来,从它而得到很大的帮助。从前我到柏克莱去念研究所时,我花了很多功夫去听很多不同的科目,有些人觉得很奇怪,为什么我会去听那些课?我觉得这些课对我有好处,过了几十年后我还是觉得有好处。有些课在我去听的当时可能不懂,可是听了还是觉得有好处,因为一个人的脑袋的想法并不是那么简单的,有时候某些东西当时可能不懂,可是慢慢的就能领悟很多东西。我举例来讲,我做博士论文的时候,我刚好要用到群论的东西,当时我问过许多专家,但是都不懂,我突然想到从前在某一课上听过一个有关这方面的论文,我忘了当时讲什么课,但我记得大概在那里可以找这方面的文章,所以我花了2天的时间在图书馆,结果给我找到差不多是我所要的文章。假如当初不去听这门课的话,我完全没有这个机会,所以有时候听一门不懂的课,有很多不同的帮助,所以很多研究生我跟他们讲,你们去听课不一定要懂,你坐在那边总比不坐在那边好,你不坐在那边的话,你完全不可能知道有其它的方法。

我想最后还是你对整个学问有多大兴趣的问题,假如你对这个学问兴趣不大的话,你没办法长年累月的坐在图书馆,坐在办公厅里,或是坐在一个课堂上听课,所以你一定要先决定你对这学问的兴趣有多大,当然做研究还有许多其它方面比较复杂的原因,以后有机会我们再讲下去。我想现在你们在大学的阶段,最要紧的是决定以后你要做什么东西,其它的可能就容易做到了。

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