为了尽快恢复功力,复习数学分析

用了半个月左右的时间粗浅地略读了《复分析,可视化方法》的前十一章,当然略去了所有加星号的内容和所有习题。整体的感觉是,四两拨千斤,比较精彩,很多以前不知道的问题现在茅塞顿开。但是有些地方的处理方式实在谈不上严格,以至于我在读到某些地方时不由得心存狐疑,他这种演绎发展数学的方式真的能有可靠的结果吗?

比如,第三章 3.2.4(中译本115页),论证对圆周反演的反共形性的过程,为什么可以用与两条任意曲线 S1,S2 相切的圆周来代替这两条曲线呢?粗浅地看,这似乎没什么问题。然而这里面似乎隐藏着一个问题:原来的曲线 S 和与曲线 S 相切于 p 点的圆 C,经过反演变换之后变为 T(S) 和 T(C) (由于 C 与反演圆周正交,所以 T(C)=C),那么 T(C) 是否仍然与 T(S) 相切于点 T(p)?这个他似乎想当然认为是对的,并没有证明过。但是如果只把 C 也看成一条特殊的曲线,那么曲线 S 与 C 的在 p 点的夹角就可以看成是零角,因此这个未证明的命题又可表述为"反演保持零角",所以这里有循环论证之嫌。
这应该跟反演映射的实部与虚部构成的实向量函数的可微性有关,可惜这里记不太清了,所以导致读到这种章节的时候很难认识深刻。另外,除了某些特殊的地方,作者似乎总是以实向量函数的可微性为前提,比如讨论复函数解析的条件的时候。

又比如,幂级数逐项求导的论证,见 5.5.2 幂级数。在中译本第200页脚注中,译者再次忍不住强烈指出,作者的这种论证"有严重问题"。因为但凡数学专业科班出身的人都知道,函数项序列  {f_n} 如果收敛到某个函数  f f_n 每项的连续或可导并不能保证  f 也有同样的性质,在一般的实分析中是这样表述这个命题的:如果  f_n 每项都连续且这个函数列一致地(或广义一致地)收敛到  f,那么  f 也连续;如果  f_n 每项都连续可导并且导数序列  f'_n 广义一致收敛,那么  f'_n 的极限也恰是  f'。译者在这如此强调地指出一致收敛性的必要性,可能他认为作者在做这段论述的过程中并没有用到幂级数广义一致收敛这个前提,或者至少是作者强调的不够。
但是作者确实用到一致收敛性了,因为在中译本199页,作者有一句话说:"因为每个多项式均为解析的,每个象也都是无穷小圆盘。然而我们已经知道这些象会越来越完全地与 S(D) 重合,所以 S 把无穷小圆盘变为另一个无穷小圆盘,从而它是解析的。"如果没有一致收敛性的前提,哪里有"这些象会越来越完全地与 S(D) 重合"这个结论呢?
作者这一段的逻辑是这样:由  S_n 的一致收敛性,并且  S_n 每一项都解析,那么一个无穷小圆盘  D 在每一个  S_n 下的像  S_n(D) 都是无穷小圆盘,并且这些圆盘整个地趋向于最终的  S(D),那么  S(D) 也是个无穷小圆盘,从而  S 是解析的(这里应该还是有  S 作为实向量函数的可微性做前提)。然后,作者开始论证  S 的伸扭和各个  S_n 的伸扭的关系,有了  S 解析性为前提,这时只需分析几个无穷小向量(作者选了三个)与它们各自的像之间的夹角和长度比就可知道, S_n 的伸扭也在趋向于  S 的伸扭。
当时看到这里的时候,这么领会作者意图之后,我注意到这里的论述除了用到  S_n 的广义一致收敛性之外没有用到幂级数的其它性质。那么是否在这里作者也在暗示一个比实分析中那条定理更强的命题呢?即是否有"如果  S_n 一致地收敛于  S,并且每个  S_n 都解析,那么  S 也是解析的,并且  S_n 的导数趋向于  S 的导数"?果不其然,在第九章末尾译者就补充了这个叫做维尔斯特拉斯定理的命题。

因此可以看出,这本书的写作风格,作者经常把某些严格论述所需要的东西潜移默化地埋藏在了几何论述当中。如果读者有深厚的功力,再来看这里面的论述,或者对照其它版本的复分析教材看收获应该更大一些。

以上是初读此书的一点点想法,如有不同意见欢迎讨论。

八月二十九日更新:

有关幂级数逐项求导的论证,昨天又想了一下。虽然我很想维护作者的论述过程,不愿承认作者在这个问题上的论述有很大缺陷,但果真像译者所说的那样,确实有很大问题。即使在某些地方应用了一致收敛性,但用得不充分,而且这个问题在复解析函数和实可微函数之间有很大区别,只有用到这些区别,才能得到维尔斯特拉斯定理的结论。因为:

像作者那样的论证过程,似乎也可以完全不变地套用到实函数的情形,只要把解析换成可微,把无穷小圆盘换成无穷小邻域,那么作者的论述完全可以得出:如果  f_n 一致收敛到  f,并且每个  f_n 可微,那么  f 也可微,并且  f_n' 逐点收敛到  f'

这在实函数情形是错误的,因为可以举出无穷多的反例,比如,闭区间上连续函数可用伯恩斯坦多项式一致逼近,多项式都是无穷次可微的,但连续函数却不一定可微。

那么是不是只要有了  f 的可微性就有  f_n' 逐点收敛到  f' 呢?这也是不成立的,在   [0,\pi] 区间上考虑函数列  f_n(x)=\frac{\sin nx}{n},它是一致收敛到  y=0 函数的,但是  f_n'=\cos nx 却不逐点收敛到  y'=0。注意这个反例中不论是函数列的每一项还是极限函数,都是无穷次可微的。

之所以这里出现了错误,是因为作者在论述过程中只考虑了一个特定的无穷小圆盘,没考虑到这个无穷小圆盘逐渐收缩时候会怎么样。用形式化的语言重述作者论述过程(至少我是这么理解作者意图的),就是:

 y=f(x) 的可微性,得到

 \forall \epsilon>0,\exists \delta>0 使得当  |\Delta x|<\delta 时,有

 |\frac{\Delta y}{\Delta x}-y'|<\epsilon

 y_n=f_n(x) 的一致收敛性,得到

 \forall \Delta x,\exists N \in \mathbf N 使得当  n>N 时,有

 |\frac{\Delta y_n}{\Delta x}-\frac{\Delta y}{\Delta x}|<\epsilon

又由  y_n=f_n(x) 每项都可微,得到

 \forall n \in \mathbf N,\exists \delta>0 使得当  |\Delta x|<\delta 时,有

 |\frac{\Delta y_n}{\Delta x}-y_n'|<\epsilon

但是,在第二和第三个不等式中, n \Delta x 相互依赖,它们很难达成一致,所以这三个不等式可能无法同时满足,也就得不出  y'_n 逼近  y' 的结论。

4 thoughts on “为了尽快恢复功力,复习数学分析

  1. 您好 : 我叫周池春,是天津大学理论物理的本科生。今年大三。
    我看了您写的东西相当的精彩 其中《可视化复分析0》 《 liner algebra done right》 我都看过。您的思想真的很深刻。我希望能够认识您 。您能发邮箱给我么?

    • 我邮箱 tianpeng83@gmail.com
      其实我也是边学习边思考然后把思考出来的自己觉得比较新鲜的东西写下来的,有些东西写过之后就放在那里了,很多都没仔细检查过,如果您发现有什么错误或疏漏也欢迎指正。

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