偏导数与可微性的进一步讨论

首先回顾一下多元函数的偏导数存在与可微的关系问题。

设 \( F(x,y)\) 是二元实函数,\( x_0,y_0\) 是其定义域的一个内点,如果存在两个实数 \( A,B\),使得对于极限过程 \( \sqrt{h^2+k^2}\to 0\),以下关系成立:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})\)
则称 \( F\) 在点 \( (x_0,y_0)\) 处可微。

据《数学分析新讲》(张筑生著,北京大学出版社,1990)第二册209页叙述,一个多元函数可微的等价叙述为:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+\alpha h+\beta k\)
其中 \( \alpha=\alpha(h,k), \beta=\beta(h,k)\) 满足
\[ \lim_{(h,k)\to(0,0)}\alpha(h,k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\beta(h,k)=0\]

一个多元函数 \( F\) 在某点可微,意味着它在这点对各个变元的偏导数存在,但是偏导数存在却不蕴含可微性。如果函数 \( F\) 在某点的一个邻域中每个一阶偏导数都存在且这些偏导数都在该点连续,那么函数 \( F\) 在该点可微,但是 \( F\) 在某点可微却又不蕴含一阶偏导数在该点连续。
这些基本事实可参见任何一本数学分析教材。

各个教材只讨论所有一阶偏导数连续是可微的充分不必要条件,却没有讨论可以把这个条件减弱到什么程度依然可以蕴含可微的结论。那么我们是否可以把这个条件减弱呢?

注意到这个定理的证明中,用到了如下的分解:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)\) \( =F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0+h,y_0)+F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)\)
然后用一元函数的中值定理,有
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)\) \( =F_y(x_0+h,y_0+\theta_1 k)k+F_x(x_0+\theta_2 h,y_0)h\)
其中 \( \theta_1,\theta_2\in(0,1)\)。
之后利用 \( F_x,F_y\) 的连续性,得到结论。

但是,在估计 \( F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)\) 这一项的时候,也可以不用中值定理啊,只要 \( F_x(x_0,y_0)\) 存在,那么根据偏导数的定义,设
\[\alpha(h)=\begin{cases}\frac{F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)}{h}-F_x(x_0,y_0)& \text{ if } h\not=0 \\ 0&\text{ if } h=0\end{cases}\]
则 \( F(x_0+h,y_0)-F(x_0,y_0)=F_x(x_0,y_0)h+\alpha(h)h\),并且满足 \( \lim_{h\to 0}\alpha(h)=0\)。
这样,在估计 \( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0+h,y_0)\) 部分的时候照常使用中值定理,那么我们就可以得到判断可微性的一个较弱的条件:

命题1:设二元函数 \( F(x,y)\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的一个邻域内有定义,且在 \( (x_0,y_0)\) 处它的两个一阶偏导数都存在,那么只要有一个偏导数在这点邻域内存在且在这点连续,则函数 \( F\) 在 \( (x_0,y_0)\) 处可微。

例如:考虑函数
\[ F(x,y)=\begin{cases}x+y^2\sin\frac{1}{y}&\text{ if } y\not=0 \\ x&\text{ if } y=0\end{cases}\]
由于 \( F_x\) 在整个平面内存在且连续,\( F_y\) 也处处存在,可知 \( F\) 在整个平面内可微。但是 \( F_y\) 却不是处处连续的。

下面把这个命题推广到三元以上的函数。

在增量式子
\( F(x_1+h_1,\dots,x_n+h_n)-F(x_1,\dots,x_n)\) 中,我们可以插入2n-2个首尾相接的中间项,使得最后一个差式是 \( F(x_1,\dots,x_{n-1},x_n+h_n)-F(x_1,\dots,x_n)\),在一项里用偏导数定义,其余各项照常用一元函数的微分中值定理,那么就有

命题2:设 n 元函数 \( F(x_1,\dots,x_n)\) 在点 \( x^0=(x_1^0,\dots,x_n^0)\) 的一个邻域内有定义,且在该点处它的各个一阶偏导数都存在,那么如果有 n-1 个偏导数在该点邻域内存在且在该点连续,则函数 \( F\) 在该点可微。

我们可以引入偏微分的概念,来把偏导数与全微分这两个概念统一起来,设一个多元数值函数或向量值函数 \( F(x_1,\dots,x_n)\),固定某些参数 \( x_1,\dots,x_r\),只把其余的参数看成变量,而把 \( F\) 看成是 n-r 元的函数 \( f(x_{r+1},\dots,x_n)=F(x_1^0,\dots,x_r^0,x_{r+1},\dots,x_n)\),如果这个 n-r 元函数在某点 \( x_{r+1}^0,\dots,x_n^0\) 可微,则把 \( f\) 在该点的微分称为 \( F\) 在点 \( x_1^0,\dots,x_n^0\) 处对 \( x_{r+1},\dots,x_n\) 的偏微分。(见《数学分析新讲》P263-264)那么函数在某点的某个偏导数存在,就是这个函数在该点对这个变元的偏微分存在。

那么一个函数在某点可微的判定条件就可以更一般化地叙述为:

命题3:设 n 元函数 \( F(x_1,\dots,x_n)\) 在点 \( x^0=(x_1^0,\dots,x_n^0)\) 的一个邻域内有定义,如果 \( F\) 在该点处对一部分变元的偏微分存在,而对另一部分变元有连续偏导数,则函数 \( F\) 在该点可微。

这个命题的证明类似于命题1的证明。

看到命题2,你可能觉得本篇文章没多大意义,相比于所有偏导数都连续的条件来,本文中的几个命题毕竟没有多大的改观。但是这几个命题可以让我们把隐函数定理补充得更加丰满,这是下一篇的内容。

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