三、四元数乘法的性质与几何意义
四元数的乘法不满足交换律，比如，\( ij=-ji,jk=-kj,ik=-ki\)。但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号，比如：
\( (1+2i+3j+4k)(5+6i+7j+8k)=-60+12i+30j+24j\)
而
\( (5+6i+7j+8k)(1+2i+3j+4k)=-60+20i+14j+32k\)
但是也不是所有的四元数都不遵循交换律，比如，
\( (1+2i+3j+4k)(1-2i-3j-4k)=\) \( (1-2i-3j-4k)(1+2i+3j+4k)=30\)
这个事情比较奇怪，两个四元数 \( p,q\)，它们不同顺序的乘积 \( pq\) 和 \( qp\) 到底有什么关系呢？看一下刚才的三个例子，好像不管两个乘积是否相等，它们的实数部分都是相等的。
您可以再试验几个例子，看一看是不是这样，甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序，尝试更多的例子，看一看两个乘积到底有什么关系。但是在我们讨论之后，事情就会比较明朗了。