隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数  F(x,y) 满足
i)  F(x_0,y_0)=0
ii)  F(x,y) F_y(x,y) (x_0,y_0) 的某个邻域内连续
iii)  F_y(x_0,y_0)\not=0
则存在  \delta,\eta>0 和唯一的定义于  (x_0-\delta,x_0+\delta) 取值于  (y_0-\eta,y_0+\eta) 的函数  y=y(x) 满足
1)  y_0=y(x_0) F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)
2)  y(x) (x_0-\delta,x_0+\delta) 内连续
进一步地,如果
iv)  F_x(x,y) 也在  (x_0,y_0) 的一个邻域内连续,则上述的  y=y(x) x_0 的一个邻域内一阶导数连续,且

  y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了  F (x_0,y_0) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

Continue reading