隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数 \( F(x,y)\) 满足
i) \( F(x_0,y_0)=0\)
ii) \( F(x,y)\) 与 \( F_y(x,y)\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续
iii) \( F_y(x_0,y_0)\not=0\)
则存在 \( \delta,\eta>0\) 和唯一的定义于 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 取值于 \( (y_0-\eta,y_0+\eta)\) 的函数 \( y=y(x)\) 满足
1) \( y_0=y(x_0)\),\( F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)\)
2) \( y(x)\) 在 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 内连续
进一步地,如果
iv) \( F_x(x,y)\) 也在 \( (x_0,y_0)\) 的一个邻域内连续,则上述的 \( y=y(x)\) 在 \( x_0\) 的一个邻域内一阶导数连续,且
\[ y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}\]

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了 \( F\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

我们以南开版《数学分析》中的隐函数定理为基础,利用上一篇 《偏导数与可微性的进一步讨论》 中证明过的几个命题,我们可以讨论一下南开版中也没有提到过的几个情况,把隐函数定理补充成如下命题:

命题2:设 n+1 元函数 \( F(x_1,\dots,x_n,y)\) 满足
i) \( F(x_1^0,\dots,x_n^0,y_0)=0\)
ii) \( F(x_1,\dots,x_n,y)\) 与 \( F_y(x_1,\dots,x_n,y)\) 在 \( (x_1^0,\dots,x_n^0,y_0)\) 的某个邻域内连续
iii) \( F_y(x_1^0,\dots,x_n^0,y_0)\not=0\)
则存在 \( (x_1^0,\dots,x_n^0)\) 的开邻域 \( U\) 和 \( y_0\) 的开邻域 \( V\) 以及唯一的定义于 \( U\) 取值于 \( V\) 的函数 \( y=y(x_1,\dots,x_n)\) 满足
1) \( y_0=y(x_1^0,\dots,x_n^0)\),\( F(x_1,\dots,x_n,y(x_1,\dots,x_n))=0,\forall(x_1,\dots,x_n)\in U\)
2) \( y(x_1,\dots,x_n)\) 在 \( U\) 内连续
进一步地,
iv) 如果 \( F\) 在 \( U\times V\) 中对某变量 \( x_i\) 的偏导数 \( F_{x_i}\) 存在,则 \( y\) 在 \( U\) 中对该变量的偏导数也存在,并且
\[ \frac{\partial y}{\partial x_i}(x_1,\dots,x_n)=-\frac{F_{x_i}(x_1,\dots,x_n)}{F_y(x_1,\dots,x_n)}\]
v) 如果 \( F\) 在 \( U\times V\) 中可微,则 \( y\) 在 \( U\) 中也可微
vi) 如果 \( F\) 在 \( U\times V\) 中连续可微,则 \( y\) 在 \( U\) 中也连续可微
证明:命题的基本部分就是隐函数定理的基本部分。下面证明 v),再用 v) 证明 iv) 与 vi)。
如果 \( F\) 在 \( U\times V\) 中可微,设 \( x=(x_1,\dots,x_n)\in U\),则对于充分小的向量 \( \Delta x=(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n)\),有 \( x+\Delta x\in U\),那么设 \( \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)\),由 \( y\) 的连续性,有
\[ \lim_{|\Delta x|\to 0}\Delta y=0\]
由 \( F\) 的可微性,有

\[ \begin{aligned}0=&F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)\\ =&F_x(x,y)\Delta x+F_y(x,y)\Delta y+\alpha(\Delta x,\Delta y)\Delta x+\beta(\Delta x,\Delta y)\Delta y\end{aligned}\]

因 \( \alpha,\beta\) 是 \( \Delta x\to 0\) 时的无穷小量,且在 \( U\) 中 \( F_y(x,y)\not=0\),故只要 \( |\Delta x|\) 充分小,就可以使 \( F_y(x,y)+\beta(\Delta x,\Delta y)\) 不为零,因此
\[ \Delta y=-\frac{F_x+\alpha}{F_y+\beta}\Delta x\]
对 \( \Delta x\) 的系数,有
\[-\frac{F_x+\alpha}{F_y+\beta}=-\frac{F_x}{F_y}+\gamma\]
其中 \( \gamma\) 也是关于 \( \Delta x\) 的无穷小量。因此就有
\[ \Delta y=-\frac{F_x}{F_y}\Delta x+\gamma\Delta x=-\frac{F_x}{F_y}\Delta x+o(|\Delta x|)\]
即函数 \( y\) 可微。
对于 iv),如果 \( F\) 在 \( U\times V\) 中对某变量 \( x_i\) 的偏导数 \( F_{x_i}\) 存在,那么由于 \( F_y\) 在 \( U\) 中连续,根据上一篇已证明的命题,固定其他变量,\( F\) 是关于 \( (x_i,y)\) 的可微函数,因此根据 v) 可得结论。对于 vi),这就是通常隐函数定理中的附加条件,另外由 v) 得到的微分表达式也可直接看出其偏导数的连续性。证毕。

为了节省篇幅,我在上面的证明中使用了一些缩写,旨在表达证明思路,不难吧它还原为严格的完整写法。

用南开版数分中提供的归纳法,不难把这个补充推广到函数组的隐函数定理中。

下面说一说这个新的补充在几何上为什么会成立。首先,如果 \( F\) 在某一点可微,那么函数图像 \( z=F(x,y)\) 在这一点就会有切平面,\( F_y\not=0\) 表示这个切平面不会与 y 轴平行,那么这个切平面与 x-y 平面的交线,就是曲线 \( F=0\) 在该点的切线,不论这条切线沿着曲线是否会连续变化,它只是在这一点是存在的。

4 thoughts on “隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

  1. 请问博主,72pines上发博文是怎么用Latex公式的?我发的latex公式不能生成图片。

    • 用 【tex】【/tex】(其中的中括号换成英文半角的中括号”[“ 和 ”]“)包围公式。但是如果公式中有错误或者公式过长它就无法生成图片,试试短一些的且保证正确的公式看看能不能正确生成图片。
      另外在编辑的时候如果每次手动输入完整的 tex 标记号太麻烦了,一篇文章中公式好几十个,我都是先用 [[ 和 ]] 代替,然后再全局替换。

      • 谢谢楼主,欢迎以后多多交流。
        我一直想找个支持latex公式的博客服务,国外有一个is-programmer可以,但是输入太麻烦,没想到七十二松这么好

        • 72pines 还不是最简洁的,很多 wordpress 安装的 latex 插件可以用 $$ $$ 包围就可以了。当然这里也可以接受。

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