隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数  F(x,y) 满足
i)  F(x_0,y_0)=0
ii)  F(x,y) F_y(x,y) (x_0,y_0) 的某个邻域内连续
iii)  F_y(x_0,y_0)\not=0
则存在  \delta,\eta>0 和唯一的定义于  (x_0-\delta,x_0+\delta) 取值于  (y_0-\eta,y_0+\eta) 的函数  y=y(x) 满足
1)  y_0=y(x_0) F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)
2)  y(x) (x_0-\delta,x_0+\delta) 内连续
进一步地,如果
iv)  F_x(x,y) 也在  (x_0,y_0) 的一个邻域内连续,则上述的  y=y(x) x_0 的一个邻域内一阶导数连续,且

  y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了  F (x_0,y_0) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

我们以南开版《数学分析》中的隐函数定理为基础,利用上一篇 《偏导数与可微性的进一步讨论》 中证明过的几个命题,我们可以讨论一下南开版中也没有提到过的几个情况,把隐函数定理补充成如下命题:

命题2:设 n+1 元函数  F(x_1,\dots,x_n,y) 满足
i)  F(x_1^0,\dots,x_n^0,y_0)=0
ii)  F(x_1,\dots,x_n,y) F_y(x_1,\dots,x_n,y) (x_1^0,\dots,x_n^0,y_0) 的某个邻域内连续
iii)  F_y(x_1^0,\dots,x_n^0,y_0)\not=0
则存在  (x_1^0,\dots,x_n^0) 的开邻域  U y_0 的开邻域  V 以及唯一的定义于  U 取值于  V 的函数  y=y(x_1,\dots,x_n) 满足
1)  y_0=y(x_1^0,\dots,x_n^0) F(x_1,\dots,x_n,y(x_1,\dots,x_n))=0,\forall(x_1,\dots,x_n)\in U
2)  y(x_1,\dots,x_n) U 内连续
进一步地,
iv) 如果  F U\times V 中对某变量  x_i 的偏导数  F_{x_i} 存在,则  y U 中对该变量的偏导数也存在,并且

 \frac{\partial y}{\partial x_i}(x_1,\dots,x_n)=-\frac{F_{x_i}(x_1,\dots,x_n)}{F_y(x_1,\dots,x_n)}


v) 如果  F U\times V 中可微,则  y U 中也可微
vi) 如果  F U\times V 中连续可微,则  y U 中也连续可微
证明:命题的基本部分就是隐函数定理的基本部分。下面证明 v),再用 v) 证明 iv) 与 vi)。
如果  F U\times V 中可微,设  x=(x_1,\dots,x_n)\in U,则对于充分小的向量  \Delta x=(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n),有  x+\Delta x\in U,那么设  \Delta y=y(x+\Delta x)-y(x),由  y 的连续性,有

 \lim_{|\Delta x|\to 0}\Delta y=0


 F 的可微性,有

 \begin{aligned}0=&F(x+\Delta x,y+\Delta y)-F(x,y)\\ =&F_x(x,y)\Delta x+F_y(x,y)\Delta y+\alpha(\Delta x,\Delta y)\Delta x+\beta(\Delta x,\Delta y)\Delta y\end{aligned}

 \alpha,\beta \Delta x\to 0 时的无穷小量,且在  U F_y(x,y)\not=0,故只要  |\Delta x| 充分小,就可以使  F_y(x,y)+\beta(\Delta x,\Delta y) 不为零,因此

 \Delta y=-\frac{F_x+\alpha}{F_y+\beta}\Delta x


 \Delta x 的系数,有

-\frac{F_x+\alpha}{F_y+\beta}=-\frac{F_x}{F_y}+\gamma


其中  \gamma 也是关于  \Delta x 的无穷小量。因此就有

 \Delta y=-\frac{F_x}{F_y}\Delta x+\gamma\Delta x=-\frac{F_x}{F_y}\Delta x+o(|\Delta x|)


即函数  y 可微。
对于 iv),如果  F U\times V 中对某变量  x_i 的偏导数  F_{x_i} 存在,那么由于  F_y U 中连续,根据上一篇已证明的命题,固定其他变量, F 是关于  (x_i,y) 的可微函数,因此根据 v) 可得结论。对于 vi),这就是通常隐函数定理中的附加条件,另外由 v) 得到的微分表达式也可直接看出其偏导数的连续性。证毕。

为了节省篇幅,我在上面的证明中使用了一些缩写,旨在表达证明思路,不难吧它还原为严格的完整写法。

用南开版数分中提供的归纳法,不难把这个补充推广到函数组的隐函数定理中。

下面说一说这个新的补充在几何上为什么会成立。首先,如果  F 在某一点可微,那么函数图像  z=F(x,y) 在这一点就会有切平面, F_y\not=0 表示这个切平面不会与 y 轴平行,那么这个切平面与 x-y 平面的交线,就是曲线  F=0 在该点的切线,不论这条切线沿着曲线是否会连续变化,它只是在这一点是存在的。

4 thoughts on “隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

  1. 请问博主,72pines上发博文是怎么用Latex公式的?我发的latex公式不能生成图片。

    • 用 【tex】【/tex】(其中的中括号换成英文半角的中括号”[“ 和 ”]“)包围公式。但是如果公式中有错误或者公式过长它就无法生成图片,试试短一些的且保证正确的公式看看能不能正确生成图片。
      另外在编辑的时候如果每次手动输入完整的 tex 标记号太麻烦了,一篇文章中公式好几十个,我都是先用 [[ 和 ]] 代替,然后再全局替换。

      • 谢谢楼主,欢迎以后多多交流。
        我一直想找个支持latex公式的博客服务,国外有一个is-programmer可以,但是输入太麻烦,没想到七十二松这么好

        • 72pines 还不是最简洁的,很多 wordpress 安装的 latex 插件可以用  包围就可以了。当然这里也可以接受。

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