点集拓扑要义(一)

分析教材中有一部分是点集拓扑中的内容在欧氏空间中的应用,所以索性在温习的时候把点集拓扑也顺便复习一遍。当年我们用的是熊金城的《点集拓扑讲义》作为教材,所以现在还用这本书为底本做一些笔记性的补充。

(一)集合与映射的运算的一些事实

命题1:设 \( f:X\to Y\),\( A,B\subset X\),\( C,D\subset Y\),则
a) 若 \( A\subset B\) 则 \( f(A)\subset f(B)\)
若 \( C\subset D\) 则 \( f^{-1}(C)\subset f^{-1}(D)\)
b) \( f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)\);\( f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)\)
c) \( f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)\);\( f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\)
d) \( f(f^{-1}(C))\subset C, f^{-1}(f(A))\supset A\)
e) \( f^{-1}(A-B)=f^{-1}(A)-f^{-1}(B) \)
f) \( f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)\) 对任意 \( A,B\subset X\) 都成立当且仅当 \( f\) 是单射
g) \( f(f^{-1}(C))=C\) 对任意 \( C\subset Y\) 都成立当且仅当 \( f\) 是满射;\( f^{-1}(f(A))=A\) 对任意 \( A\subset X\) 都成立当且仅当 \( f\) 是单射。
h) \( f(f^{-1}(f(A)))=f(A)\),\( f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)\)
i) \( f(X-A)=f(X)-f(A)\) 对任意 \( A\subset X\) 都成立当且仅当 \( f\) 是单射。

这些命题证明都很容易,略去。另外在证明这些命题的过程中,但凡涉及集合的交、并的时候都只涉及到谓词逻辑,因此所有的交与并都可以是无限个集合的交与并。

(二)拓扑空间中点的分类

设 \( X\) 是拓扑空间,\( A\subset X\),那么空间中的点可在 \( A\) 的作用下进行分类,分类的方式有以下两种:第一种方式,依据某点邻域与 \( A\) 的关系,可将全空间中的点分为 \( A\) 的内点、外点与边界点,三类点构成的集合分别称为 \( A\) 的内部(\( A^\circ\))、\( A\) 的外部,与 \( A\) 的边界(\( \partial A\));第二种方式,依据某点的去心邻域与 \( A\) 的关系,可将空间中的点分为 \( A\) 的聚点、\( A\) 的孤立点与 \( A\) 的外点,其中 \( A\) 的聚点构成的集合称为 \( A\) 的导集(\( \mathrm dA\))。

命题2:\( A\) 的内部、\( A\) 的外部,与 \( A\) 的边界三个集合两两不相交,且三个集合的并集为 \( X\)。
证明:任意一个点 \( x\in X\),则 \(x\) 是内点的定义为:存在 \(x\) 的一个邻域中包含于 \(A\)。它的否定,即 \(x\) 的任意邻域中都有点不在 \(A\) 中。这样又分为两种情况:要么任意邻域中都有 \(A\) 中的点,那么此点为边界点;要么存在一个邻域其中没有 \(A\) 的点,那么此点为外点。

命题2:\( A\) 的导集、\( A\) 的孤立点集,与 \( A\) 的外部三个集合两两不相交,且三个集合的并集为 \( X\)。
证明:如果某点为聚点,那么它的任何去心邻域中都有属于 \(A\) 的点,它的反面,即存在一个去心邻域,其中没有属于 \(A\) 的点。这样分两种情况:要么改点属于 \(A\),则改点为孤立点;反之为外点。

命题3:根据定义,\( A\) 的外部等于 \( A’\) 的内部,\( A\) 的边界等于 \( A’\) 的边界。

这样两种分类方式都是把全空间分成三个不交子集,\( A\) 的外部是两种方法共同分出的一类点集。
在欧氏空间 \( R^n\) 中,一个集合的内点也一定是这个集合的聚点,而一个集合的孤立点也必是这个集合的边界点。但是在一般的拓扑空间中这种关系不一定成立,即一个集合的内点既可能是这个集合的孤立点又可能是这个集合的聚点(考虑 \( [0,1]\cup {2}\) 作为 \( R\) 的子空间,\( A=[0.5,1]\cup{2}\),则 2 是 A 的内点,但又不是 A 的聚点,因此是 A 的孤立点;但 \( A\) 的其它内点都是聚点);而一个集合的孤立点既可能是这个集合的内点又可能是这个集合的边界点。

图表:\( R^n\) 中两种分类的关系(注:最左一列表示第一种分类各部分与A的关系,最右一列表示第二种分类各部分与A关系)

属于A

内点

聚点

不属于A

边界点

属于A

不属于A

孤立点

外点

不属于A

命题4:一个空间的任何子集的内点都是该子集的聚点,当且仅当这个空间的任何开集都不是单点集。因此在这样的空间中,一个子集的孤立点都是这个子集的边界点。
证明:必要性:设一个空间中的任何子集的内点都是该子集的聚点,那么如果单点集 \( {x}\) 是开集,则 \( x\) 是这个集合的内点,但却不是聚点,矛盾。
充分性:设一个空间的任何开集都不是单点集,如果 \( x\) 是 \( A\) 的内点,那么存在 \( x\) 的开邻域 \( U\subset A\),设 \( V\) 是 \( x\) 的任一开邻域,\( U\cap V\) 也是 \( x\) 的开邻域,这个开集不会只有 \( x\),因此存在 \( y\in U\cap V\subset V,y\in A,y\not=x\),即 \( V\cap(A-{x})\not=\emptyset\),\( x\) 是 \( A\) 的聚点。
在这样的空间中,一个集合的孤立点不可能是内点也不可能是外点,只可能是边界点。

这样我们就深刻认识了这几种点的定义,然后在这个基础上定义闭集、闭包。

定义(闭包):\( A\) 的闭包 \( \bar A\) 定义为 \( \bar A=A\cup d(A)\)。

有些分析的书上用所谓的 A 的触点定义 A 的闭包,触点定义为,如果 \( x\) 的任何邻域中都包含 \( A\) 中的点,则称 \( x\) 为 \( A\) 的触点。触点的集合定义为闭包。那么根据定义,触点既有可能是 A 中的点,也有可能是 A 的聚点;而 A 中的点和 A 的聚点都是 A 的触点。所以这两种定义是等价的。

按照全空间中点的三分类来考察 A 的闭包,可见在第一种分类中,A 的内点和边界点都是 A 的触点,外点不可能是触点;在第二种分类中,A 的聚点和孤立点都是 A 的触点,因此,全空间中除去 A 的外点就是 A 的触点,即 A 的闭包等于 A 外部的余集,下面等式成立:
a) \( \bar A={{A’}^\circ} ‘,A^\circ={{A’}^-}’\)
b) \( \bar A=A\cup\partial A=A^\circ\cup\partial A\)
c) \( \bar A=A\cup d(A)=A^\bullet\cup d(A)\) 其中 \( A^\bullet\) 表示 A 的孤立点集合

定义(闭集):拓扑空间 \( X\) 的子集 \( A\) 称为闭集,如果 \( A\) 的聚点都在 \( A\) 中,即 \( d(A)\subset A\)。

下面的命题根据定义或点的分类容易得到:

命题5:\( A\) 为闭集当且仅当 \( \bar A=A\);\( A\) 为闭集当且仅当 \( A’\) 为开集。
证明:第一个结论根据闭集的定义;
\( A’\) 为开集当且仅当 \( A’=A’^\circ\),当且仅当 \( A=A'{^\circ}’=\bar A\)。

命题6:\( A\subset B\) 蕴含 \( d(A)\subset d(B)\),\( d(d(A))\subset A\cup d(A)\)
证明:第一个结论证明见《讲义》定理2.4.1(61页)。
第二个结论因为 \( d(A)\subset\bar A\),则 \( d(d(A))\subset d(\bar A)\),又 \( \bar A\) 为闭集(因为其余集为开集)故 \( d(\bar A)\subset\bar A\),因此 \( d(d(A))\subset\bar A=A\cup d(A)\)

(三)拓扑空间的定义,决定拓扑空间的要素

教材中例举了一系列定义拓扑空间的等价方法,不是为了告诉我们拓扑空间的经典定义可以被取代,而是在某些情况下不需要明确地写出开集族就可以知道一个集合上存在着一个满足一定条件的拓扑。这些等价定义例举如下:

命题7:闭集定义拓扑:一个集合 X 的子集族如果满足 a) 包括空集与全集 b) 满足有限并性质 c) 满足任意交性质,那么存在唯一一个X上的拓扑以这个子集族为闭集族。
这是比较明显的。

命题8:闭包运算定义拓扑:在一个集合 X 的幂集上定义的运算 \( c^*\) 如果满足如下的 Kura\tovski 闭包公理:
a) \( c^*(\emptyset)=\emptyset\)
b) \( A\subset c^*(A)\)
c) \( c^*(A\cup B)=c^*(A)\cup c^*(B)\)
d) \( c^*(c^*(A))=c^*(A)\)
则 X 上存在唯一一个拓扑使得 \( \forall A\subset X, \bar A=c^*(A)\)
证明:构造一个集族 \( \mathcal P=\{U\subset X,|,\exists A\subset X,\mathrm{s.t.}U=c^*(A) \}\),这个集族满足 1),\( \emptyset\in\mathcal P\),又由性质 b),有 \( X=c^*(X)\) 即 \( X\in\mathcal P\)。2) 满足有限并性质,即 \( \mathcal P\) 中任意有限个元素的并仍然在 \( \mathcal P\) 中。这可以通过 c) 性质直接得到。下面证明 \( \mathcal P\) 中任意多个集合的交集还在 \( \mathcal P\) 中。
首先,如果 \( A\subset B\),那么 \( c^*(B)=c^*(A\cup(B-A))=c^*(A)\cup c^*(B-A)\),从而 \( c^*(A)\subset c^*(B)\)。
设 \( A_\lambda\in\mathcal P,\lambda\in\Lambda\),其中 \( \Lambda\) 为指标集,那么存在 \( B_\lambda\) 使得 \( A_\lambda=c^*(B_\lambda)\),那么这时有 \( \forall \lambda_0\in\Lambda\),
\[\begin{aligned}c^*(\cap A_\lambda)&=c^*(\cap c^*(B_\lambda)) \\ &\subset c^*(c^*(B_{\lambda_0})) \\ &=c^*(B_{\lambda_0}) \\&=A_{\lambda_0}\end{aligned}\)
从而有 \( c^*(\cap A_\lambda)\subset \cap A_\lambda\)。又根据性质 b),有 \( \cap A_\lambda\subset c^*(\cap A_\lambda)\),所以 \( c^*(\cap A_\lambda)=\cap A_\lambda\),这说明 \( \bigcap A_\lambda\in\mathcal P\)。
这样,存在唯一的拓扑以 \( \mathcal P\) 为闭集族。在这个拓扑中,因为 \( c^*(A)\) 为闭集,所以
\( \bar A\subset c^*(A)\subset c^*(\bar A)\)
\( \bar A\) 也为闭集从而存在 \( B\) 使得 \( \bar A=c^*(B)\),从而
\( c^*(\bar A)=c^*(c^*(B))=c^*(B)=\bar A\)
那么就有 \( \bar A=c^*(A)\)。

命题9:拓扑基定义拓扑:设 X 是一个集合,B 是 X 的一个子集族,如果 B 满足
1) B 中所有集合之并等于 X
2) 若 \( B_1,B_2\in\mathcal B\),则对 \( \forall x\in B_1\cap B_2,\exists B\in\mathcal B\) 使得 \( x\in B\subset B_1\cap B_2\)
那么 X 上有唯一的拓扑以 \( \mathcal B\) 为拓扑基。
命题10:拓扑子基定义拓扑:设 X 是一个集合,B 是 X 的一个子集族,如果 B 中所有集合之并等于 X,那么在 X 上存在唯一一个拓扑以 B 为拓扑子基。

这两个命题的证明可以参看书中的证明。值得说明的是,一个拓扑空间就是一个集合再附带上一个开集族,这个开集族是满足对有限交和任意并运算封闭的子集族,如果类比于向量空间中的子空间概念:对加法和数乘运算封闭的向量集合,联想到几个少量的向量通过加法和数乘运算可以张成一个完整的向量子空间,那么同样的道理,少量的开集也可以通过有限交与任意并运算”张成”一个拓扑的开集族,这就是基与子基张成拓扑,也就是这两个命题的来意。拓扑基只能用并运算生成拓扑,因此需要保证生成的子集族满足对有限交封闭,需要基底满足的条件就多一些,而拓扑子基可以用有限交和任意并进行扩张,只需要能把全集扩张进子集族就可以了。

命题11:邻域系定义拓扑:设 X 是一个集合,又设对于每一个 \( x\in X\),指定了一个子集族 \( \mathcal U_x\),并且它们满足
1) \( \forall x\in X,\mathcal U_x\not=\emptyset\),并且如果 \( U\in\mathcal U_x\),则 \( x\in U\)
2) 若 \( U,V\in\mathcal U_x\),则 \( U\cap V\in\mathcal U_x\)
3) 若 \( U\in\mathcal U_x\),并且 \( U\subset V\),则 \( V\in\mathcal U_x\)
4) 若 \( U\in\mathcal U_x\),则存在 \( V\in\mathcal U_x\) 满足 \( V\subset U\),且 \( \forall y\in V,V\in\mathcal U_y\)
则有唯一的拓扑使得对每一个点 \( x\),\( \mathcal U_x\) 为 \( x\) 的邻域系。
命题12:邻域基定义拓扑:设 X 是一个集合,又设对于每一个 \( x\in X\),指定了一个子集族 \( \mathcal V_x\),并且它们满足
1) \( \forall x\in X,\mathcal V_x\not=\emptyset\),并且如果 \( V\in\mathcal V_x\),则 \( x\in V\)
2) 若 \( U,V\in\mathcal V_x\),则存在 \( W\in\mathcal V_x\) 满足 \( W\subset U\cap V\)
3) 若 \( V\in\mathcal V_x\),则存在 \( U\in\mathcal V_x\) 满足 \( U\subset V\),且 \( \forall y\in U,U\in\mathcal V_y\)
则有唯一的拓扑使得对每一个点 \( x\),\( \mathcal V_x\) 为 \( x\) 的邻域基。
证明:命题11可见书中定理2.3.3,命题12没有在书中出现,下证命题12。
对任意 \( x\in X\),定义子集族 \( \mathcal U_x=\{U\subset X\,|\,\exists V\in\mathcal V_x, \mathrm{s.t.} V\subset U\}\)
那么 \( \mathcal U_x\) 显然满足命题11 中的 1) 2) 3) 4),则有唯一的拓扑使得对每一个点 \( x\),\( \mathcal U_x\) 为 \( x\) 的邻域系,从而 \( \mathcal V_x\) 为邻域基。

(四)一些习题,关于导集和边界、闭包和内部的性质举例。

在我见过的教材里,点的两种三分类方式的思想都没有得到足够的强调,只是叙述了各种点的定义,然后就零散地证明一些他们的性质,如果认识不深刻,这些点的概念会让人很糊涂。

1 \( \partial A^\circ\subset\partial A,\partial\bar A\subset\partial A\)
证明:若 \( x\in\partial A^\circ\),则 \( x\) 不是 \( A\) 的内点,因为 \( A\) 的内点都在 \( A^\circ\) 中,从而是 \( A^\circ\) 的内点;\( x\) 也不是 \( A\) 的外点,因为 \( A\) 的外点不可能是 \( A^\circ\) 的边界,所以 \( x\in\partial A\)。
所以 \( \partial\bar A=\partial(A{^-}’)=\partial(A'{^\circ})\subset\partial A’=\partial A\)
证法2:\( \partial A^\circ=A^{\circ-}\cap A^{\circ’-}\subset A^-\cap A’^-=\partial A\)
另一个类似。

2 \( \partial(A\cup B)\subset\partial A\cup\partial B,\partial(A\cap B)\subset\partial A\cup\partial B\)
证明:设 \( x\in\partial(A\cup B)\) 但 \( x\not\in\partial A\),则 \( x\) 的任何邻域中有属于 \( A\cup B\) 的点和不属于 \( A\cup B\) 的点,那么 \( x\) 不可能是 \( A\) 的内点,只可能是 \( A\) 的外点,因此 \( x\) 的任何邻域中属于 \( A\cup B\) 的点都是属于 \( B\) 的点,从而 \( x\) 的任何邻域中都有属于 \( B\) 和不属于 \( B\) 的点,因此 \( x\in\partial B\),因此 \( \partial(A\cup B)\subset\partial A\cup\partial B\)。
第二个因为 \( \partial(A\cap B)=\partial((A\cap B)’)=\partial(A’\cup B’)\subset\partial A’\cup\partial B’=\partial A\cup\partial B\)

3 \( \partial(\partial A)\subset\partial A,\mathrm d(\partial A)\subset\partial A\)
证明:因为 \( \partial A=\bar A\cap A’^-\) 所以 \( \partial A\) 是个闭集,从而两式成立。

4 如果 \( d(A)\subset B\subset A\),则 \( B\) 是闭集,即如果 \( A\) 是闭集,那么 \( A\) 的子集如果包含 \( A\) 导集,则一定是闭集。
证明:因为 \( B\subset A\) 所以 \( d(B)\subset d(A)\subset B\),因此 \( B\) 是闭集。

5 几个反例
1) 闭集取内部再取闭包,不等于原来的闭集;开集取闭包再取内部,不等于原来的开集
解:实数空间中的一个单点集,取内部是空集,再取闭包也是空集;而实数空间中单点集的余集,取闭包之后是全集,再取内部还是全集。
2) 子集的导集不是闭集的例子
解:包含多于一个点的平庸空间,其单点子集的导集是这个单点子集的余集,不是闭集。

6 度量空间中每一个子集的导集是闭集,因此度量空间中有 \( \partial(d(A))\subset d(A)\),\( d(d(A))\subset d(A)\)
证明:设 \( x\in d(d(A))\),那么在 \( x\) 的任何去心球形邻域 \( \check U(x,\delta)\) 中都有 \( A\) 的聚点,取其中一个聚点为 \( y\),设 \( \delta’=m\in(\rho(x,y),\delta-\rho(x,y))\),那么在 \( U(y,\delta’)\subset\check U(x,\delta)\) 中有 \( A\) 中的点,从而 \( x\) 是 \( A\) 的聚点,因此 \( d(d(A))\subset d(A)\),\( d(A)\) 是闭集。

7 设 X 是一个拓扑空间,\( {A_\gamma}_{\gamma\in\Gamma}\) 是 X 的一个子集族,证明如果对于每一个 \( \gamma\in\Gamma\),集合 \( A_\gamma\) 的导集是闭集,则集合 \( \bigcup_{\gamma\in\Gamma}A_\gamma\) 的导集也是闭集。
证明:我们将要证明 \( d(d(\cup A_\gamma))\subset d(\cup A_\gamma)\)
假设存在 \( x\in d(d(\cup A_\gamma))\) 但 \( x\not\in d(\cup A_\gamma)\),则根据命题6(书上定理2.4.1),有 \( x\in\cup A_\gamma\),从而 \( x\) 是 \( \cup A_\gamma\) 的孤立点,即存在 \( x\) 的开邻域 \( U\) 使得在 \( U\) 中除 \( x\) 之外的点都不属于 \( \cup A_\gamma\)。但因为 \( x\) 是 \( d(\cup A_\gamma)\) 的聚点,那么在 \( x\) 的任何邻域中存在 \( y\not=x\) 且 \( y\in d(\cup A_\gamma)\)。
设 \( x\in A_{\gamma_0}\),那么 \( \forall y\in U\cap d(\cup A_\gamma)\),设 \( V\) 是 \( y\) 的任一邻域,因为 \( U\cap V\) 也是 \( y\) 的邻域,但这个邻域中除 \( y\) 之外只有 \( x\) 可能属于 \( \cup A_\gamma\),而 \( y\) 又是 \( \cup A_\gamma\) 的聚点,因此 \( x\in U\cap V\),因此 \( y\in d(A_{\gamma_0})\)。
\( x\) 的任何邻域中都有 \( d(A_{\gamma_0})\) 中的点,因此 \( x\in d(d(A_{\gamma_0}))\),由条件,有 \( x\in d(d(A_{\gamma_0}))\subset d(A_{\gamma_0})\subset d(\cup A_\gamma)\),与假设矛盾。

由于在 T1 空间中,每一个单点集都是闭集,其导集是空集,而根据上面的命题,因为这样的空间中每一个子集都是单点集之并,所以 T1 空间中每一个子集的导集是闭集。仿照度量空间中的类似证法也可直接证明。

4 thoughts on “点集拓扑要义(一)

  1. 欧氏空间中那个栗子, [0,1]∪{2},那个2应该是它的边界点而不是内点?不存在r大于零的开球完全包含在集合里面,所有邻域都不完全包含其中,所以是边界点吧。。下面的表格应该是对的,欧氏空间里面的内点都是聚点。
    还在钻研学习中,不知道对不对

    • 我举的这个例子是欧氏空间的子空间,也就是考虑集合 X=[0,1]∪{2}和拓扑 \(\mathcal{T}=\{U\subset X : \exists V \text{ open set of } \mathbb{R} \text{ s.t. } U=V\cap X \}\). 这也是R的距离在X上诱导的拓扑,这个拓扑下 {2} 这个单点集本身就是个开集。你学到拓扑子空间的话就能理解这个例子。

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注