（五）拓扑空间中的序列极限与集合聚点

极限是序列的极限，聚点是点集的聚点。但二者却有很大的联系，在欧氏空间或更一般的度量空间中，x 是一个点集的聚点，当且仅当在这个点集中可以取出一列收敛到 x 但每一项都不等于 x 的点列；如果 x 是一个序列的极限，并且这个序列中有无限多项不等于 x，那么 x 就是这个序列元素构成集合的聚点。
这一节试图充分讨论极限与聚点在一般的拓扑空间中的关系。

前面说过，聚点和极限分别是不同对象的性质：极限是序列的极限，聚点是点集的聚点，为了比较两者，必须寻找到序列和集合之间转换的所有方式。

序列与集合的转换方式不外乎经常讨论的几种：
1) 从序列到集合：序列元素构成的集合。一个序列中有无限多项，但是把元素组成集合之后，形成的集合可能含有可数无穷多个元素，也可能只含有有限多个元素
2) 从集合到序列：从一个非空集合中可重复或不重复地抽取一列元素构成序列。
3) 从序列到序列：从一个序列中按原来的顺序抽出一个子列。

首先，一个序列的极限点可能并不唯一，因此我认为，写 \( \lim_{n\to\infty}x_n=x\) 这种形式的表达式可能会引起混淆，因为它不能被理解成等式，极限符号也不表示一个运算，等号右边也不表示一个运算的结果，两个这样的等式 \( \lim_{n\to\infty}x_n=x,\lim_{n\to\infty}x_n=y\) 放在一起也不能得出 \( x=y\) 的结论。而另一种记号 \( x_n\to x(n\to\infty)\) 就不会出现这个问题。但在 Housedoff 空间中，因为序列的极限唯一，所以两种形式的写法都是没有歧义的。

命题1：设 \( x_n\to x(n\to\infty)\)，则对任意自然数 \( N\)，\( x\) 都是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点。
证明：根据极限的定义，任意自然数 \( N\)，以及 x 的任意邻域 \( U\)，存在自然数 \( N’\)，当 \( n>\max(N,N’)\) 时，\( x_n\in U\)，即 \( U\cap{x_n|n>N}\not=\emptyset\)，因此 \( x\) 是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点。

这个命题之后，自然想到，它的逆命题是否成立？如果对任意自然数 \( N\)，\( x\) 都是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点，虽然不能指望这个序列一定收敛到 \( x\)，但是否可以指望这个序列的某个子列收敛到 \( x\)？
这在度量空间中是成立的，回想一下数学分析中的经典证法：取 \( n_1=1, x_{n_1}=x_1\)，对任意自然数 \( k>1\)，假设 \( n_{k-1}\) 已经取定，那么因为 \( x\) 是集合 \( \{x_n|n>n_{k-1}\}\) 的触点，可以取得 \( n_k>n_{k-1}\)，使得 \( x_{n_k}\in B(x,\frac{1}{k})\)，这样取得的一个序列极限就是 \( x\)。

但是在一般的空间中遇到了麻烦：在度量空间中，我们可以用一列以有理数为半径的球形邻域来筛选出满足要求的子列，其关键就是度量空间实质上在任何一点处都有一个可数的邻域基；但在一般的空间中，\( x\) 处的邻域基的个数可能是不可数的，无法像度量空间中那样一个一个地筛选元素，使得 x 的任何邻域中都包含子序列某一项之后的所有元素。那么在一般的空间中这个命题是否还成立？

书上例举了这方面相关的一个反例：在实数的可数补拓扑中，任何一个不可数子集 A 的导集 d(A) 是整个空间，但是 A 之外的点都不可能成为 A 中序列的极限。
但这个反例要求 A 是不可数的，够不成我们研究的命题的反例。设想一下在实数的可数补拓扑中，一个序列元素构成的集合是闭集，如果 \( x\) 是 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点，那么序列中必然有无穷多项等于 \( x\)，我们研究的命题自然成立。

是不是只要集合可数，集合的聚点就有可能是集合内序列的极限呢？我们先考察有限集合的聚点。

命题2：设序列 \( x_n\) 的元素集合 \( \{x_n|n\in\mathbf N\}\) 是有限集，那么如果对任意自然数 \( N\)，\( x\) 是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点，则 \( x_n\) 一定有一个子列收敛到 \( x\)。
证明：因为 \( x\) 是有限集的触点，根据有限个集合并集的闭包等于这些集合闭包的并，一定存在某个单点集 \( \{x_m\}\) 以 \( x\) 为触点，并且 \( x_m\) 在序列中无限次重复出现，取子列为 \( x_{n_k}=x_m\)，则 \( x\) 是这个子列的极限。

遗憾的是，因为无穷个集合并集的导集不一定就等于导集的并，所以这个论证过程还无法推广到可数集合的情形。下面是有关可数集聚点不是序列极限点的反例：

反例1：\( X\) 是有可数个元素的拓扑空间，\( X\) 的子集 \( A\) 存在聚点 \( x\)，但 \( A-\{x\}\) 中不存在收敛到 \( x\) 的序列。
解：设 \( Q\) 为有理数集，定义 \( Y\subset Q\) 是 \( Q\) 上的开集当且仅当 \( Q-Y\) 在通常的实数空间中的导集是有限集，或 \( Y\) 本身是空集。显然这样定义的开集族包括空集和全集，并且任意多个开集的并也是开集，由于 \( d(Q-Y_1\cap Y_2)=d(Q-Y_1)\cup d(Q-Y_2)\)，所以两个开集 \( Y_1,Y_2\) 的交集 \( Y_1\cap Y_2\) 也是开集。因此这是个有理数集上的拓扑。
任意取一有理数 \( x\)，设一个有理序列 \( x_n\in Q-\{x\}\)，下证 \( x_n\) 不收敛到 \( x\)。如果在实数拓扑中集合 \( \{x_n|n\in N\}\) 的导集是空集，那么其余集 \( Q-\{x_n|n\in N\}\) 就是这个拓扑中的开集，并且是 \( x\) 的一个邻域，但这个邻域中不存在序列 \( x_n\) 的任何一项，所以此时 \( x_n\) 不收敛到 \( x\)；反之，如果在实数拓扑中 \( y\) 是集合 \( \{x_n|n\in\mathbf N\}\) 的聚点，那么 \( x_n\) 有一子列 \( x_{n_k}\) 收敛到 \( y\)，从而 \( G=\{x_{n_k}|k\in\mathbf N\}\) 在实数中的导集就是单点集 \( \{y\}\)。这样 \( Q-G\) 就是这个拓扑中的开集，从而是 \( x\) 的邻域，但这个邻域中不含 \( x_{n_k}\) 的任何项，所以子列 \( x_{n_k}\) 不收敛到 \( x\)，整个序列也不可能收敛到 \( x\)。
但是 \( x\) 的任何邻域 \( U\) 都是无限集，因此都与 \( Q-\{x\}\) 有非空的交，从而 \( x\) 是集合 \( Q-\{x\}\) 的聚点。

以这个反例为基础，我们就可以构造我们的命题的反例：

反例2：对任意自然数 \( N\)，\( x\) 都是 \( \{x_n|n>N\}\) 的聚点，但 \( x_n\) 任何子列都不收敛到 \( x\)。
解：设拓扑空间如反例1 所述，\( x\) 是任意一个有理数，将 \( Q-\{x\}\) 的元素排成一列 \( x_n\)，那么对于任意自然数 \( N\)，由于 \( x\) 的任意邻域 \( U\) 都是无限集，都与 \( \{x_n|n>N\}=Q-\{x,x_1,\dots,x_N\}\) 有非空的交，从而 \( x\) 是 \( \{x_n|n>N\}\) 的聚点。但根据反例1，\( x_n\) 任何子列都不收敛到 \( x\)。

前面的讨论涉及到拓扑空间的两个性质：
1)，\( x\) 是 \( A\) 的聚点，那么 \( A-\{x\}\) 中存在序列收敛到 \( x\)
2)，\( x_n\) 有子列收敛到 \( x\) 当且仅当对任意自然数 \( N\)，\( x\) 是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点。

这两条性质之间是什么关系？刚才讨论中已经看到一个满足性质 2) 却不满足性质 1) 的例子（实数的可数补拓扑），下面证明，如果一个拓扑空间满足性质1)，那么它也一定满足性质2)。

命题3：如果一个拓扑空间满足性质1)，那么它也一定满足性质2)。
证明：性质2) 中的必要性已经证明在一般的拓扑空间中都成立了，只需证明性质1) 可以保证性质2) 中的充分性。
设 \( X\) 是一个满足性质1) 的拓扑空间，在这个空间中，有序列 \( x_n\) 和元素 \( x\) 满足对任意自然数 \( N\)， \( x\) 都是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的触点。
如果对任意自然数 \( N\)， \( x\in\{x_n|n>N\}\)，那么显然有子列 \( x_{n_k}=x\)，命题自然成立。以下设 \( x_n\not=x,\forall n\)，从而对任意 \( N\)，\( x\) 是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的聚点。由于空间满足性质1)，那么在集合 \( \{x_n|n\in\mathbf N\}\) 中就有序列 \( x_{n_k}\) 收敛到 \( x\)。 如果当 \( k\to\infty\) 时下标 \( n_k\to\infty\)，那么 \( n_k\) 就有严格单调递增的子列，从而存在 \( x_n\) 的子列收敛到 \( x\)，命题得证；反之，如果下标 \( n_k\) 是个有界序列，设 \( M\) 是下标的上界，那么由于 \( x\) 是集合 \( \{x_n|n>M\}\) 的聚点，在这个集合中同样取一序列 \( x_{m_k}\) 收敛到 \( x\)，依次下去，会出现两种情形：第一，某次得到的序列其下标可以增长到无穷大，这时根据前面所述，我们已经得到满足要求的子列；第二，每次取到的序列其下标都是有界的，我们就得到一个序列的序列，设为 \( x^i_n\)，其中 i 代表序列的编号，n 代表序列元素编号。而每一个序列都是由有限个元素重复构成，那么对其中任何一个序列 \( x^i_n\)，存在一个元素 \( x^i_{n_i}\) 使得 \( x\) 是单点集 \( \{x^i_{n_i}\}\) 的聚点，取所有的 \( \{x^i_{n_i}\}\) 构成一个新的序列，这个序列就是满足要求的子列。

命题4：如果 \( x_n\) 的任何子列都有收敛到 \( x\) 的子列，那么 \( x_n\) 本身也收敛到 \( x\)。
证明：假设 \( x_n\) 不收敛到 \( x\)，那么存在 \( x\) 的一个邻域 \( U\)，对任意自然数 \( N\)，存在 \( n>N\) 使得 \( x_n\not\in U\)，那么就存在 \( x_n\) 的一个子列 \( x_{n_k}\) 使得 \( \forall k, x_{n_k}\not\in U\)。这个子列的任何子列显然都不收敛到 \( x\)，与假设矛盾。

命题5：在满足性质2) 的空间中，一个序列 \( x_n\) 收敛到 \( x\) 当且仅当对 \( x_n\) 的任何子列 \( x_{n_k}\) 以及任何自然数 \( N\)，\( x\) 都是集合 \( \{x_{n_k}|k>N\}\) 的触点。
证明：这是命题4 的简单推论。

命题6：A1 空间满足上面讨论过的性质1)，而在 T1 空间中，单点集是闭集，从而任意有限集的导集是空集，因此在一个满足 A1、T1 公理的列紧空间中，每个序列都有收敛子列，即满足 A1、T1 公理的列紧空间都是序列紧的。
证明：在这样空间中的一个序列 \( x_n\)，不妨设 \( \{x_n|n\in\mathbf N\}\) 是无限集，根据列紧性，这个集合有凝聚点 \( x\)，对于任意自然数 \( N\)，集合 \( \{x_1,\dots,x_N\}\) 的导集是空集，因此 \( x\) 是集合 \( \{x_n|n>N\}\) 的聚点，根据命题3，\( x_n\) 有收敛到 \( x\) 的子列。因此这个空间是序列紧空间。

这是在满足A1、T1 公理的空间中从列紧向序列紧推导的另外一条路。