一端有吸收壁的随机游动

在李贤平《概率论基础》第三版,第88页起,讨论了直线上两种情况的随机游动:无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中,质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q,那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率:
当 \(p=q=\frac{1}{2}\) 时,为 \[\frac{b}{a+b}\]
当 \(p\not=q\) 时,为 \[\frac{(\frac{q}{p})^a-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}\]

那么,还剩下一种情况没有讨论,就是只在 0 点处放置吸收壁,在另一端无限制,然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。

一种可能的思路是,在上面两端吸收壁的结果中,令 \(b \to +\infty\),从而得到以下结果:
当 \(p=q=\frac{1}{2}\) 时,被吸收的概率为1;当 \(q>p\) 时,结果也是1;当 \(qp\) 时,由于概率不可能大于1,故同样有 \(p_n=1\);当 \(q

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