一端有吸收壁的随机游动

在李贤平《概率论基础》第三版,第88页起,讨论了直线上两种情况的随机游动:无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中,质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q,那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率:
p=q=\frac{1}{2} 时,为

\frac{b}{a+b}


p\not=q 时,为

\frac{(\frac{q}{p})^a-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}

那么,还剩下一种情况没有讨论,就是只在 0 点处放置吸收壁,在另一端无限制,然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。

一种可能的思路是,在上面两端吸收壁的结果中,令 b \to +\infty,从而得到以下结果:
p=q=\frac{1}{2} 时,被吸收的概率为1;当 q>p 时,结果也是1;当 q<p 时,结果为  (\frac{q}{p})^a。 但是,这种方法可能引起我们的担心,因为,我们求得两端吸壁的结果时,所列差分方程的的解依赖于 0 和 a+b 处给出的初值,而现在,b被无穷大代替,而无穷大又不是个具体的数,你不能说,质点在无穷大处怎样。 可以如下解释这个疑问:首先,将吸壁由 b 点移动到 b+1,则质点若被 b+1 处吸壁吸收,必首先经过 b 点,也就是质点被b+1 处吸收,这个事件蕴含质点被 b 吸收,那么它的概率就应该变小,从而质点被 0 点吸收的概率就是增大的。当只有0点有吸壁时,质点被0点吸收的概率就应该大于所有两端有吸壁的情况,因此是上面算式的极限情况。 这样说还是有些牵强。如果我们借鉴书上的处理方式,我们也可以列出差分方程来: 记 p_n 为质点初始位置为 n 时,其被 0 处吸壁吸住的概率。则显然 p_0=1。 如果质点在 n+1 处,那么它要经过两步才能被吸收:首先要经过一系列游走到达 n,由于另一端一直到无穷远处都无障碍,这个过程和它从 1 点到达 0 点而被吸收的过程没什么两样,因此它发生的概率为 p_1;之后要从 n 点到达 0 点被吸收,它的概率为 p_n。因此,有

p_{n+1}=p_1p_n

p_n={p_1}^n

接下来求 p_1。注意到书上列的差分方程

p_n=pp_{n+1}+qp_{n-1}

在这里依然有效,将上面 p_n 代入,得到

p_1=p{p_1}^2+q

求得 p_1=1p_1=\frac{q}{p}。 当 p=q=\frac{1}{2} 时,p_n=1;当 q>p 时,由于概率不可能大于1,故同样有 p_n=1;当 q<p 时,结果为  p_n=(\frac{q}{p})^n。 这个结果与上面取极限的结果一致。 对应于赌徒输光理论,如果对方有用不完的赌注,则当你的赌技没有对方高,或者你们两人旗鼓相当的时候,你的赌注必定全输光;而即使你的赌技比对方高,你仍有一定的几率输光赌注。但是,你也有机会赢得任意多的钱,只要你有足够的本。

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