徐森林《实变函数论》中有关超限归纳法的一处疏漏

我想趁着假期的时候多复习些内容,所以现在有几门功课正在齐头并进,以便于在一门功课看累了的时候可以换换主题。这其中有实变函数,用的是徐森林的《实变函数论》中科大2002年版。

这本书第68页定理1.5.7(对应于2009清华版59页定理1.4.6):”布莱尔集与实数集等势”的证明过程中,用到了超限归纳法。作者首先以实数集为基础,构造良序集 \(A\),以便有足够多的序数对 \(\mathscr R\) 向 \(\mathscr R_\sigma(\mathscr R)\) 扩充的无限过程编号。\(A\) 实际上等同于最小的不可数序数之前的所有序数构成的集合,即所有可数序数构成的集合。(对于序数的直观描述可参见本博客文章《0.00…1是个什么数?》 打开连接之后在页内搜索”序数”)有意思的是,\(A\) 中任意一个元素,前面都只有可数多个元素,但 \(A\) 本身却是不可数的。这有点类似于自然数集 \(\mathbf N\),任意一个自然数都是有限的,但自然数集本身却是无限的。当然,可数序数和有限序数都没有最大元。

有了合适的序数集,作者便用递归的方式,通过差运算和可数并运算将 \(\mathscr R\) 一步步向 \(\mathscr R_\sigma(\mathscr R)\) 扩充。第0步,\(\mathscr R_{a_0}=\mathscr R\)。假设第 \(\lambda\in A\) 步已经完成,那么在第 \(\lambda +1\) 步,令 \[\mathscr R_{\lambda+1}=\left\{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i, E_2-E_1\,|\, E_i\in \mathscr R_\lambda, i=1,2,\dots\right\}\] 则作者认为对于每一个 \(a\in A, \mathscr R_a\) 都定义好了。

我认为,实际上这个递归定义的结果,最多是对于所有的有限序数,即自然数 \(n\) 定义好了 \(\mathscr R_n\),而无法遍历 \(A\) 中所有的可数序数。因为我们知道,不是所有的序数都是另一个序数的后继,比如第一个无限序数 \(\omega\) 就不是任何一个序数的后继,这样的序数称为超越序数。而 \(A\) 是个不可数集合,其中无法避免地会出现超越序数。

因此,我把上面的定义过程修改如下:

定义 \(\mathscr R_{a_0}=\mathscr R\)。对于 \(\lambda\in A\) 假设对所有的 \(\lambda’\prec\lambda,\),集合 \(\mathscr R_{\lambda’}\) 都已定义好,那么定义 \[\mathscr R_\lambda=\left\{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i, E_2-E_1\,|\, E_i\in \bigcup_{\lambda’\prec\lambda}\mathscr R_{\lambda’}, i=1,2,\dots\right\}\] 这样,此定义中的 \(\lambda\) 是不是后继序数就无关紧要了。可以证明,当 \(\lambda’\prec\lambda\) 时,有 \(\mathscr R_{\lambda’}\subset \mathscr R_\lambda\),所以当 \(\lambda=\lambda’+1\) 时,\( \mathscr R_\lambda\) 的定义与书中定义等同。

这样修改了这个定义之后,证明的其它地方都要做相应的修改。有关 \(\bigcup_{a\in A}\mathscr R_a\) 是 \(\sigma\) 环的证明,原书中的过程 (i) 与(ii) 仍然是对的。根据超限归纳定义,\(\bigcup_{a\in A}\mathscr R_a\subset\mathscr R_\sigma(\mathscr R)\) 也成立,因此第2步的其它地方没有什么要修改的。

关键的改动在第3步证明对 \(\forall a\in A, \overline{\overline{\mathscr R_a}}=\aleph\) 的过程。同样的,在利用超限归纳法的时候没有归纳完全,忽略了超越序数的情况。正确的论证方式为:假设命题对所有小于 \(\lambda\) 的序数都成立,则根据 \(\mathscr R_\lambda\) 的构造方式,\(\bigcup_{\lambda’\prec\lambda}\mathscr R_{\lambda’}\) 是至多可数个基数为 \(\aleph\) 的集合之并,因此它的基数仍为 \(\aleph\),因此每个 \(E_i\) 的取法有 \(\aleph\) 种,因此 \[\overline{\overline{\mathscr R_\lambda}}=\aleph^\infty+\aleph^2=\aleph\]

后面的步骤也不需做修改。

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