徐森林《实变函数论》中有关超限归纳法的一处疏漏

我想趁着假期的时候多复习些内容,所以现在有几门功课正在齐头并进,以便于在一门功课看累了的时候可以换换主题。这其中有实变函数,用的是徐森林的《实变函数论》中科大2002年版。

这本书第68页定理1.5.7(对应于2009清华版59页定理1.4.6):"布莱尔集与实数集等势"的证明过程中,用到了超限归纳法。作者首先以实数集为基础,构造良序集 A,以便有足够多的序数对 \mathscr R\mathscr R_\sigma(\mathscr R) 扩充的无限过程编号。A 实际上等同于最小的不可数序数之前的所有序数构成的集合,即所有可数序数构成的集合。(对于序数的直观描述可参见本博客文章《0.00...1是个什么数?》 打开连接之后在页内搜索"序数")有意思的是,A 中任意一个元素,前面都只有可数多个元素,但 A 本身却是不可数的。这有点类似于自然数集 \mathbf N,任意一个自然数都是有限的,但自然数集本身却是无限的。当然,可数序数和有限序数都没有最大元。

有了合适的序数集,作者便用递归的方式,通过差运算和可数并运算将 \mathscr R 一步步向 \mathscr R_\sigma(\mathscr R) 扩充。第0步,\mathscr R_{a_0}=\mathscr R。假设第 \lambda\in A 步已经完成,那么在第 \lambda +1 步,令

\mathscr R_{\lambda+1}=\left\{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i, E_2-E_1\,|\, E_i\in \mathscr R_\lambda, i=1,2,\dots\right\}

则作者认为对于每一个 a\in A, \mathscr R_a 都定义好了。

我认为,实际上这个递归定义的结果,最多是对于所有的有限序数,即自然数 n 定义好了 \mathscr R_n,而无法遍历 A 中所有的可数序数。因为我们知道,不是所有的序数都是另一个序数的后继,比如第一个无限序数 \omega 就不是任何一个序数的后继,这样的序数称为超越序数。而 A 是个不可数集合,其中无法避免地会出现超越序数。

因此,我把上面的定义过程修改如下:

定义 \mathscr R_{a_0}=\mathscr R。对于 \lambda\in A 假设对所有的 \lambda'\prec\lambda,,集合 \mathscr R_{\lambda'} 都已定义好,那么定义

\mathscr R_\lambda=\left\{\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i, E_2-E_1\,|\, E_i\in \bigcup_{\lambda'\prec\lambda}\mathscr R_{\lambda'}, i=1,2,\dots\right\}

这样,此定义中的 \lambda 是不是后继序数就无关紧要了。可以证明,当 \lambda'\prec\lambda 时,有 \mathscr R_{\lambda'}\subset \mathscr R_\lambda,所以当 \lambda=\lambda'+1 时, \mathscr R_\lambda 的定义与书中定义等同。

这样修改了这个定义之后,证明的其它地方都要做相应的修改。有关 \bigcup_{a\in A}\mathscr R_a\sigma 环的证明,原书中的过程 (i) 与(ii) 仍然是对的。根据超限归纳定义,\bigcup_{a\in A}\mathscr R_a\subset\mathscr R_\sigma(\mathscr R) 也成立,因此第2步的其它地方没有什么要修改的。

关键的改动在第3步证明对 \forall a\in A, \overline{\overline{\mathscr R_a}}=\aleph 的过程。同样的,在利用超限归纳法的时候没有归纳完全,忽略了超越序数的情况。正确的论证方式为:假设命题对所有小于 \lambda 的序数都成立,则根据 \mathscr R_\lambda 的构造方式,\bigcup_{\lambda'\prec\lambda}\mathscr R_{\lambda'} 是至多可数个基数为 \aleph 的集合之并,因此它的基数仍为 \aleph,因此每个 E_i 的取法有 \aleph 种,因此

\overline{\overline{\mathscr R_\lambda}}=\aleph^\infty+\aleph^2=\aleph

后面的步骤也不需做修改。

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