概率处处有奇论——三门问题和男孩女孩问题

最近,在 mickeylili 的博客 上看到了两个问题,颇有概率奇论的味道,让我想起了当初学习概率的感觉:如履薄冰,甚至怀疑,概率这东西到底是不是一个确定的理论呢?这两个问题是这样:

第一个问题是有名的”三门问题”, 亦称”蒙提霍尔问题”:

三门问题出自美国电视游戏节目 Let’s Make a Deal,问题的名字来自该节目的主持人 Monty Hall.

游戏玩法是:参赛者面对三扇关闭的门,其中一扇门的后面有汽车,另两扇门的后面各有一只山羊,选中后面有车的那扇门就可以赢得汽车,当参赛者选定一扇门,但未开启它时,知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊,主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门。

问题是:参赛者换另一扇门会否改变参赛者赢得汽车的概率?

初看问题,会感觉自己陷入两难境地:主持人打开了一扇有山羊的门,给我留下了另外两扇,我不知道这两扇哪一扇后面会有汽车。我第一次选定的,和另外一扇未打开的门,似乎没有什么不同。换,或不换也似乎没有不同。再以概率的角度想,我开始选中有车的门的概率是 1/3,当主持人打开一扇有山羊的门之后,因为已经知道其中一只山羊藏在哪里了,那就相当于在这个条件下,我选中有车的门的”条件概率”变成了 1/2,而另一扇门有车的概率也是 1/2。想想觉得有道理。于是继续看后面答案。

后面给出两种分析,其一大意为,汽车在我选中的门后的概率为 1/3,在另外两扇门之一后面的概率是 2/3,既然另两扇门其一被打开,后面是山羊,那么这 2/3 的概率就集中到另一扇关着的门了,因此应该换门。
另一个大意为,下面三种情况等可能(概率均为 1/3):
我选山羊一号门,主持人选山羊二号,换门将赢得汽车;
我选山羊二号门,主持人选山羊一号,换门将赢得汽车;
我选汽车门,主持人选山羊一号或二号,换门失败。
三种情况有两种换门会赢得汽车,只有一种换门失败,因此换门赢得汽车的概率为 2/3。

老实说,看到这两种分析之后,我头脑里闪现的念头是,这两种分析都有漏洞,都是错的。对于第一种,两扇关着的门是一样的,为什么后面有车的概率一个不变,另一个就变成 2/3 了?为什么不都变成 1/2?难道就因为我选了和我没选的区别?对于第二种,我曾觉得似乎应该是四种情况:
我选山羊一号门,主持人选山羊二号,换门将赢得汽车;
我选山羊二号门,主持人选山羊一号,换门将赢得汽车;
我选汽车门,主持人选山羊一号,换门失败;
我选汽车门,主持人选山羊二号,换门失败。
两成功两失败,不能说换门就提高成功概率。

但是我又无法坚信自己的分析而否定文档的分析,这样我就陷入两难:到底是我错了,还是文档错了?

如果是数学的其它分支,如果两个人得到结果不一样,我们可以很容易验证,因为答案是确定的,大多数情况只要代入一个特殊值,或考虑一个特殊情况,马上就可以验证孰是孰非。但是一个事情发生的概率,你说是1/3,我说是1/2,怎么验证呢?毕竟概率这东西看不到摸不着,它就是可能性的大小,如果不是必然事件或不可能事件,这个可能性的大小是很难捉摸的。即使做实验,它也有可能发生有可能不发生,即使计算频率,而即使频率倾向于支持你的答案,理论上也无法完全否定我。这就是我当初讨厌概率的地方。我总是在想,到底概率这东西有没有意义?客观上存在一个叫概率的东西吗?

对这个问题第二次深入分析,最后文档中第二种分析说服了我。因为我首先看到的是,主持人知道所有门后面的情况,因此他只开有山羊的门。在这种情况下,如果我每次都换门,那么我换门之后得到的东西完全取决于我第一次选中的门。也就是说,既然主持人永远开羊门,那么 如果我开始选中了羊门,换了之后就是汽车;如果我开始选中车门,换了之后就是羊。因此,文档中例举的三个过程,只有第个一步骤是带有随机性的,后面的两个步骤:主持人开羊门,换门得结果,都是在第一步之后就确定下来的。因此,第一步选中羊,等价于换门后得到汽车,其概率显然是 2/3;而第一步选中汽车,也等价于换门后是羊,其概率为 1/3。而如果我坚持不换门,那么第一步选中羊,等价于第三步打开这个羊门,其概率显然是 2/3;而第一步选中汽车,也等价于第三步打开得汽车,其概率为 1/3。

那么到底怎么样利用条件概率来分析这个问题?我先前的分析为什么不对?经过简单的搜索,我发现这个问题还有不同的提法,例如,如果主持人不知道门后的情况,他也是随机地开门,那么在他恰好开了羊门之后,我换或不换,中奖的概率就都是 1/2 了。

主持人开的都是羊门,为什么他知道或不知道门后的情况会影响到我得奖的概率呢?按照日常生活经验是无法理解的。

经过分析,我认为,如果主持人在我选定之后随机地开其余两扇门,然后如果我每次都换门,那么这个过程就相当于把三个不同的门随机排列,假设三个门分别为羊一,羊二,车,那么三个门排列的次序有以下几种等可能情况:
羊一,羊二,车;
羊二,羊一,车;
车,羊一,羊二;
车,羊二,羊一;
羊一,车,羊二;
羊二,车,羊一。
如果已知第二项是羊,那就相当于发生了上面前四种情况之一,在这个条件下,换门中奖的概率为 1/2。同理,不换门中奖的概率也是 1/2,这个问题与条件概率的理论吻合得正好。

如果主持人知道门后的情况而故意不开车门,那么,上面的最后两种排列就演变成了前两种排列,即六种排列演变成:
羊一,羊二,车;
羊二,羊一,车;
车,羊一,羊二;
车,羊二,羊一;
羊一,羊二,车;
羊二,羊一,车;
这样六种情况等可能,那么有四种情况换门得奖,两种情况换门失败。

如果用条件概率公式 \[P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\] 来解释,设 A1 表示我第一次选到羊,A2 表示主持人开了个羊门,A3 表示我换门之后得到车,那么要想换门之后得奖,这三件事必须顺次发生。在主持人知道门后情况的时候,\(P(A_2)=P(A_2|A_1)=1\),否则 \(P(A_2)=\frac{2}{3}, P(A_2|A_1)=\frac{1}{2}\)。而 \(P(A_3|A_1A_2)=1\) 在两种情况下都成立。那么主持人知情时,有 \[P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)=\frac{2}{3}\] 而当主持人不知情时,有 \[P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)=\frac{1}{3}\] 但是注意这里已经知道主持人开了羊门,即 A2 已经发生,因此这里求的实际上是 \[P(A_1A_2A_3|A_2)=P(A_1A_2A_3)/P(A_2)=\frac{1}{2}\] 这与上面的例举吻合完好。

由此,文档中的第一种分析就有些问题了,因为第一种分析没有用到主持人知情这个条件,它可以完全不加改变地应用到主持人不知情而恰巧开启羊门的情况,同样得到这时换门的胜算更大。而实际上这时换不换门得奖的概率是一样的。

第二个问题是关于生男生女的概率问题,这个问题出现在有关条件概率的内容后面。首先讨论了这样的问题:人的生育过程决定,每次生育,生男孩和生女孩的概率基本一样。那么一个家庭有两个孩子,以下四种情况就有等可能的机会出现:男男,男女,女男,女女。现在已知一个家庭至少有一个女孩,那么另一个也是女孩的概率是多少。因为已知至少有一个女孩,排除了第一种男男的可能性,在剩下三种可能当中,最后一种是符合要求的组合,因此这个概率是 1/3。

现在问题变化一下,已知一个朋友家里有两个孩子,你去了他家,开门的是女孩,现在问另一个你还没见到的孩子是女孩的概率。

如果受到上一题目影响,开门的是女儿,但是不知道开门的是老大还是老二,因此我们只能由此推断出,他家至少有一个女孩,那么另一个孩子是女孩的概率就是 1/3。

但是,我又明显感觉到这里面有问题,因为,如果这个推理正确,那么,假设一位母亲怀了双胞胎,排除同卵的情形,临产时先生出个女孩,那么护士是否可以说,老二是女孩的概率是 1/3?这和上面排列推断出的概率不同,因为已知老大是女孩的情况下,老二是男是女依然各占一半。再设想,抛开两个孩子出生顺序,只是假设一个屋子里有两个人,每个人是男是女概率各占一半,那么第一次出来个女的,问屋子里剩下的那个人是女的概率?这样根据出屋顺序,也有四种可能:男男,男女,女男,女女。第一个是女的,排除两种情况:男男、男女。则剩下个女的可能性是 1/2。

那么问题出在哪里?难道”我见到一个孩子是女孩”和”已知一个孩子是女孩”不一样?

因为这个问题在文档中以思考题出现,文档中没有答案,所以我也不知道正确答案到底是哪个。经过分析,我认为,之所以出现 1/3 这个数,是因为我们始终坚持认为出生时的四种排列顺序(男男,男女,女男,女女)是等可能出现的。这是正确的。而”我去他家,见到开门的孩子是女孩”,相当于做了另一个随机试验,再一次引入一个随机事件,即”两个孩子,随机地见到一个,是女孩”,这就跟”确定至少有一个女孩”有所不同了。如果用试验模拟”随机见到女孩”的过程,那么这个试验大概如下:

从一堆红球白球里随机地抽出两个放在黑盒子里,每次抽取红球和白球的概率都是1/2;然后再从黑盒子里任意掏出一球,发现是白球,问剩下的球是白球的概率。

将黑盒子里两球编号,那么两球有四种情况等可能出现:M1=1红2红,M2=1白2白,M3=1红2白,M4=1白2红。然后在每种情况下分析第二次随机试验。设 A 事件为,”第一次摸出白球”,B 事件为”剩下那个是白球”。问题归结为求 P(B|A)。首先,P(AB)=1/4(因为 AB 发生等价于上面的 M2)。那么接下来只要求出 P(A) 即可。而根据全概率公式,\[P(A)=P(A|M_1)P(M_1)+P(A|M_2)P(M_2)+P(A|M_3)P(M_3)+P(A|M_4)P(M_4)=\frac{1}{2}\] 因此最后结果为 \[P(B|A)=P(AB)/P(A)=\frac{1}{2}\]

这样,在一段时间的努力下,两个险些毁三观的问题终于没有逃脱出概率论的框架。

3 thoughts on “概率处处有奇论——三门问题和男孩女孩问题

  1. 你的分析都没错。由于这是上课的讲义,不可能写得事无巨细(否则上课就成了读讲义了),你分析的内容我上课时大都给学生解释过。
    讲义里的思考题的答案确实是1/2。什么情况是1/3呢?你到一个朋友家做客,已经知道这个朋友家有两个孩子,但不知道性别。到朋友家时你一个小孩也没见到,但发现阳台上晾着女孩穿的裙子,问两个孩子都是女孩的概率。

    这类古典概率的问题跟“表述”和“理解”关系很大,很多时候就是“抠字眼”,换个理解就是不同的概率问题。所以建议不必为它们花太多精力。现代概率论的重点是随机变量的分布、极限定理等在实际工业生产中更实用的内容。

  2. 关于“三门问题”再简单解释一下。“主持人知道每扇门后的情况”是前提。
    “由此,文档中的第一种分析就有些问题了,因为第一种分析没有用到主持人知情这个条件,它可以完全不加改变地应用到主持人不知情而恰巧开启羊门的情况,同样得到这时换门的胜算更大。”——此话不对,第一种分析实际上用到了主持人知情的条件,不能应用到“主持人不知情而恰巧开启羊门的情况”。
    原因是,如果主持人知情,那么主持人的选择就不是一个随机事件了,只有“我”的选择是随机事件,所以下面三种情况等可能:
    我选山羊一号门,主持人选山羊二号,换门将赢得汽车;
    我选山羊二号门,主持人选山羊一号,换门将赢得汽车;
    我选汽车门,主持人选山羊一号或二号,换门失败。
    如果主持人不知情,那么主持人的选择也是随机事件,于是应该是下面6种情况等可能(注意此时会出现主持人打开汽车门的情况,使得此时“我”不管换不换门都失败),容易看到换门或不换门赢得汽车的概率是一样的:
    我选山羊一号,主持人选山羊二号,换门将赢得汽车;
    我选山羊一号,主持人选汽车,换门或不换门都失败;
    我选山羊二号,主持人选山羊一号,换门将赢得汽车;
    我选山羊二号,主持人选汽车,换门或不换门都失败;
    我选汽车,主持人选山羊一号,不换门将赢得汽车;
    我选汽车,主持人选山羊二号,不换门将赢得汽车。

    • 或许是我理解有误,你的课件里自始至终只是一种分析方式,我在文章中提到的所谓第二种分析方式其实是详细描述了前面的分析,而我错把它当成是与前面不同的理解方法。
      这样就没有问题了。

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