我在写测度论的教材

上了研究生之后很少写博客了,一是因为没有太多时间,二是因为写东西的速度很少能跟得上接触新东西的速度,博客的“笔记”功能也就名不副实了,只能挑选一些特别大的主题记录一下.

现在,利用假期时间我计划写一本有关测度和积分理论的教材,没有人要求我写,也不指望拿这个去赚稿费,完全凭借兴趣,而且还要留一些时间学习新知识,所以假期的时间能写到哪就写到哪.

本书包含测度论和积分论中最基本的内容,我设想的完整目录结构如下:

绪论:从面积到测度,从黎曼积分到勒贝格积分
0.1 对面积的回顾
0.2 积分的物理与几何意义
0.3 为何要扩展Jordan 测度和黎曼积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 如何扩展测度和积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第一章测度理论
1.1 集合类、集合序列的极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 乘积空间中的半环与-环,Borel 域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 一般测度论,测度的延拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 集合的极限与测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
附录1.A 有关可数个正数的和的讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第二章积分理论
2.1 可测函数与简单函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 可测函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 积分的性质,单调收敛原理、Fatou 引理以及控制收敛原理. . . . . . . . . . .
2.4 与黎曼积分的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第三章各种收敛性
第四章几个常用公式在新积分下的讨论
4.1 Foubini 定理:重积分与累次积分的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 含参变量积分的连续性与可导性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 积分的变量替换公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 分部积分公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 牛顿-莱布尼茨公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章函数空间Lp
5.1 定义与完备性讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 几个子集的稠密性. .

当然,假期时间很短暂,不可能把整本书用一个假期都写完,争取写完前三章.从今天开始,我会分章把初稿贴在这里.

目前已完成“绪论”部分:下载链接在这.在绪论这一章回顾了初等教育中对长度、面积、体积的认识过程,并在此基础上介绍了Jordan和Lebesgue发展测度与积分理论的思路,为接下来的章节做必要的铺垫.

2014/07/27 更新:第一章已经完成,可以下载,同时删除旧文件.在第一章中主要讲述测度论的基础知识,包括半环、环、sigma环以及sigma域等重要概念,以及在这些集类上建立的测度理论.本章主要参考严加安《测度论讲义》以及徐森林《实变函数论》,同时零星参考其它几本测度论或实变教材,其中有几本是国外教材.在吸收各个教材的优点的同时,笔者还提出了自己对这方面知识的系统总结,并对一些定理和命题做出自己的证明方法,对一些问题提出了自己的见解.

2017/01/19 有很多人期待第二章,现在把未完成的第二章先放上来,但因为都是两年多前写的部分,当初就没来得及校对,再加上时过境迁,所以已放上来的部分都权且作为参考。有些打字错误因为现在没有带 ctex 的环境所以暂时只能这样。
测度与积分理论 第二章

12 thoughts on “我在写测度论的教材

    • 非常感谢你的支持,让我增强了继续写下去的动力.我每天只有两个小时写这本书的时间,第一章整整用了两个月,依照这个速度,假期时间争取把第二章写完也就差不多了.当然,我的主要创新点都集中在第一二章,后面的东西都是为了完整性才去写的,可以说后面的章节大部分都是摘录其它书籍了,所以我能写完前两章就很满足了.

  1. 准备再次看《线性代数就该这样学》的时候,在豆瓣翻看你的书评,顺藤摸瓜来到了这里。做得真不错。坚持下去!

    • 因为我目前在读博士,也有自己的研究任务,书的事情暂时搁下了。但如果你感兴趣看看第二章,我可以把当初写了一部分的第二章发给你,你在评论里给个邮箱。不过第二章没有校对,完成的部分也还没有达到能放上来的程度,你就仅作为参考吧。

      • 博主您好,和您一样我也是在读博士。
        最近,我一直在看实变的东西,由于并非数学系出身,想从应用的角度去学习,苦于能查找到的书籍太过形式化,往往是一堆命题+证明,也点不到要害,不知其所云。偶然间,查到了您写的这份教程,开卷就介绍了引入测度的大致思路,让人有茅塞顿开的振奋感!
        非常迫切的希望能够拜读您未完成的第二章,即便如您所说,它还不够完美。
        我的邮箱是:mechanicsnan@163.com
        望您不吝相赠!
        拜托啦~~

  2. 已经看完,老师真是写的太好了,相对来说好理解多了.非常感谢老师的贡献,支持一下.

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