怎样用一般幂函数的积分公式理解\(y=1/x\)的积分

前一篇文章用了做定积分最原始的方法——分割做和取极限的方法重新理解了\(y=1/x\)积分中自然对数的来源。本篇文章回答上一篇中提出的问题:怎样把\(y=1/x\)的积分嵌入到常规幂函数积分公式\(\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C\)中。

如果你试图从公式\(\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C\)推导\(y=1/x\)的积分,多半会失败,因为把\(a=-1\)带进去,等式右边的分母为零,分子在\(x\neq 0\)时变成了\(1\),整个式子变得没有意义。实际上\(y=1/x\)是幂函数里唯一一个另类,它的积分非但不能简单地从普通幂函数积分公式中得出,其结果反而超越了幂函数的范围。怎样理解这样的不和谐?昨天因为写前一篇文章的缘故,头脑中闪过另外一个念头,最后竟然成功地解释通了这个困扰多年的问题。

这个解释使用幂函数求导公式
\[(x^a)’=ax^{a-1},\> x>0\]
以后的推导中我们都假定\(x>0\),不加赘述。为了使等式右边宝贵的\(x^{a-1}\)不被取\(0\)值的\(a\)破坏,我们把\(a\)移到等式左边:
\[\frac{(x^a)’}{a}=x^{a-1}\]
接下来注意,当\(a=0\)时,等式右边就是我们想要的\(x^{-1}\),但等式左边变成了\(0/0\)。这时自然想到用极限的过程代替直接取值,即令\(a\to 0\),看看等式左边趋于什么极限?这时\(a\)就被理解成一个变量了,我们还是用字母\(y\)代替\(a\)比较好,同时,这里的导数也变成了偏导数:
\[\frac{\partial _x x^y}{y}=x^{y-1}\]
变一下形式理解等式左边:
\[\frac{\partial_x x^y-\partial_x x^0}{y}=x^{y-1}\]
令\(y\to 0\),得到
\[\left. \partial_y(\partial_x x^y)\right |_{y=0}=x^{-1}\]
如果两个偏导符号可以换序,那么我们就能够得到
\[\partial_x(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0})=x^{-1}\]
这样等式左边括号里面的函数就是我们要求的函数。括号里面的函数是什么呢?\(\partial_y x^y\)这是个指数函数的求导,\(\partial_y x^y=\partial_y e^{y\ln x} =x^y\ln x\),所以括号里的函数正是\(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0}=\ln x\),于是有
\[(\ln x)’=\frac{1}{x}\]
那么上面的两个偏导符号是否可以换序呢?从多元变量分析中得知,当两个二阶偏导数之一在点\((x,0)\)的某个邻域内存在且连续时,两个二阶偏导可以换序。那么计算其中一个二阶偏导数得到(注意:这里只能考察这个二阶偏导,因为另一个二阶偏导在计算的过程中应用了对数函数的导数,这在此时是不合理的。)
\[\partial_y(\partial_x x^y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x\]
容易知道它在\((x,0)\)附近都是连续的,这样就保证了这种做法的合理性。

这种方法表面上是兜了一大圈,但它也提供给我们另外的信息:\(y=1/x\)的积分其实没有那么特殊,它是普通幂函数积分公式的一个极限结果。

用定积分的定义计算双曲线下方图形的面积

这篇文章中的内容是逛百度贴吧时的一个意外收获,贴子地址为

http://tieba.baidu.com/p/3475129628

利用微积分的知识可知,反比例函数 \(y=1/x\) 的不定积分是 \(\int \frac{1}{x}\mathrm d x=\ln x+C\),由此得出,贴子中出现的阴影部分的面积要用对数表示,设\(A\)的纵坐标和  \(B\)的横坐标分别是\(y\)和\(x\),那么这个面积是\(1+\ln x+\ln y\)。由此也可以得出,当\(x\)与\(y\)都趋于无穷大时,面积的表达式也趋于无穷大,所以双曲线与坐标轴之间的面积为无穷大。

很多人在学习数学的时候仅仅满足于知道一个结论,或者满足于弄懂书上给的证明,就以上提出的面积问题,通过牛顿-莱布尼茨公式求面积的方法自然是非常普适的方法,任何人也不会怀疑由它得出的结论。但是,从我一开始初学微积分的时候就对这个结论充满好奇,总是在想,如此简单的反比例函数怎么和对数函数联系在一起了呢?反比例函数仅比多项式函数稍微复杂了一点,为什么它的积分是个超越函数?而且,这是幂函数里唯一的一个“特殊分子”:其他的幂函数的积分都还差不多是幂函数,只有\(y=1/x\)这个怪物。

牛顿-莱布尼茨公式是一种解释,但这种解释很难让人有切实的体会。受上面那篇贴子中问题的启示,我找到了另外一种更直观、更初等的计算这个面积的方法,可以让人在图中切切实实地“看到”一个对数函数出现的过程。需要用到的知识:定积分计算面积的思想方法(分割、做和、取极限),以及一个有关\(e\)的极限:\(\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)。我将以问题的形式启发读者自己去完成这个计算过程。

首先,解决贴子中的问题:不用微积分的知识,只用初等方法,证明\(y=1/x\)下方图形的面积是无穷大。

1) 在双曲线上任意一点向两坐标轴做垂线,证明这两条垂线与坐标轴形成的矩形的面积与点的位置无关,这个面积是多少?
2) 用上述特性在双曲线与坐标轴之间做出无穷多个互不重叠的矩形,并且每个矩形的面积不小于一个定值,比如\(0.9\)。(提示:先做出一个面积为1的正方形,再做出一个 1)中所描述的矩形,二者重叠部分的面积有什么特点?)

然后,计算双曲线下方\([1,t]\)之间曲边梯形的面积:
3) 将 2) 中的矩形面积不断减小,比如,让所有矩形的面积都等于\(\epsilon\)(那个正方形除外),这些矩形的宽度就会不断减小,\)[1,t]\)之间的曲边梯形就会逐渐被一些面积相等的矩形所铺满。计算\)[1,t]\)之间矩形的个数,并用\)\epsilon\)表示。
4)计算这些矩形的总面积,并计算当\(\epsilon\to 0\)时的极限。证明这些小矩形的宽度随着\(\epsilon\to 0\)而趋于零。根据反比例函数在\([1,t]\)上的可积性,这些矩形总面积的极限就是曲边梯形的面积。

至此,你应该看到对数和\(e\)分别是在哪一个步骤里出现了。下面是一个额外的问题:
5)为了比较\(y=1/x\)与\(y=1/x^2\)的差别,把这套策略改造一下应用到函数\(y=1/x^2\)上,并解释为什么对数函数没有出现在\(y=1/x^2\)的下方。