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一端有吸收壁的随机游动

在李贤平《概率论基础》第三版,第88页起,讨论了直线上两种情况的随机游动:无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中,质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q,那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率:
p=q=\frac{1}{2} 时,为

\frac{b}{a+b}


p\not=q 时,为

\frac{(\frac{q}{p})^a-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}

那么,还剩下一种情况没有讨论,就是只在 0 点处放置吸收壁,在另一端无限制,然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。

一种可能的思路是,在上面两端吸收壁的结果中,令 b \to +\infty,从而得到以下结果:
p=q=\frac{1}{2} 时,被吸收的概率为1;当 q>p 时,结果也是1;当 q<p 时,结果为  (\frac{q}{p})^a。 但是,这种方法可能引起我们的担心,因为,我们求得两端吸壁的结果时,所列差分方程的的解依赖于 0 和 a+b 处给出的初值,而现在,b被无穷大代替,而无穷大又不是个具体的数,你不能说,质点在无穷大处怎样。 可以如下解释这个疑问:首先,将吸壁由 b 点移动到 b+1,则质点若被 b+1 处吸壁吸收,必首先经过 b 点,也就是质点被b+1 处吸收,这个事件蕴含质点被 b 吸收,那么它的概率就应该变小,从而质点被 0 点吸收的概率就是增大的。当只有0点有吸壁时,质点被0点吸收的概率就应该大于所有两端有吸壁的情况,因此是上面算式的极限情况。 这样说还是有些牵强。如果我们借鉴书上的处理方式,我们也可以列出差分方程来: 记 p_n 为质点初始位置为 n 时,其被 0 处吸壁吸住的概率。则显然 p_0=1。 如果质点在 n+1 处,那么它要经过两步才能被吸收:首先要经过一系列游走到达 n,由于另一端一直到无穷远处都无障碍,这个过程和它从 1 点到达 0 点而被吸收的过程没什么两样,因此它发生的概率为 p_1;之后要从 n 点到达 0 点被吸收,它的概率为 p_n。因此,有

p_{n+1}=p_1p_n

p_n={p_1}^n

接下来求 p_1。注意到书上列的差分方程

p_n=pp_{n+1}+qp_{n-1}

在这里依然有效,将上面 p_n 代入,得到

p_1=p{p_1}^2+q

求得 p_1=1p_1=\frac{q}{p}。 当 p=q=\frac{1}{2} 时,p_n=1;当 q>p 时,由于概率不可能大于1,故同样有 p_n=1;当 q<p 时,结果为  p_n=(\frac{q}{p})^n。 这个结果与上面取极限的结果一致。 对应于赌徒输光理论,如果对方有用不完的赌注,则当你的赌技没有对方高,或者你们两人旗鼓相当的时候,你的赌注必定全输光;而即使你的赌技比对方高,你仍有一定的几率输光赌注。但是,你也有机会赢得任意多的钱,只要你有足够的本。

图示矩阵分块乘法

在本博客文章《理解矩阵与矩阵乘积(三)》六、矩阵分块的实质中,已经提到过矩阵分块乘法是有清晰的几何意义的。写那篇文章的时候我的头脑中还浮现出一个图表,为什么矩阵乘法和分块的乘法有一样的计算规则,在图表中一目了然。但当时嫌画图太麻烦没有画出来。几个月过去了,那篇文章的浏览量也不小,但似乎那篇文章说得还不够清楚。因此这里把当时想到的图表补充进来。


图示:2x3与3x2分块矩阵的乘法

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隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数  F(x,y) 满足
i)  F(x_0,y_0)=0
ii)  F(x,y) F_y(x,y) (x_0,y_0) 的某个邻域内连续
iii)  F_y(x_0,y_0)\not=0
则存在  \delta,\eta>0 和唯一的定义于  (x_0-\delta,x_0+\delta) 取值于  (y_0-\eta,y_0+\eta) 的函数  y=y(x) 满足
1)  y_0=y(x_0) F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)
2)  y(x) (x_0-\delta,x_0+\delta) 内连续
进一步地,如果
iv)  F_x(x,y) 也在  (x_0,y_0) 的一个邻域内连续,则上述的  y=y(x) x_0 的一个邻域内一阶导数连续,且

  y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了  F (x_0,y_0) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

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偏导数与可微性的进一步讨论

首先回顾一下多元函数的偏导数存在与可微的关系问题。

 F(x,y) 是二元实函数, x_0,y_0 是其定义域的一个内点,如果存在两个实数  A,B,使得对于极限过程  \sqrt{h^2+k^2}\to 0,以下关系成立:
 F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})
则称  F 在点  (x_0,y_0) 处可微。

据《数学分析新讲》(张筑生著,北京大学出版社,1990)第二册209页叙述,一个多元函数可微的等价叙述为:
 F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+\alpha h+\beta k
其中  \alpha=\alpha(h,k), \beta=\beta(h,k) 满足

 \lim_{(h,k)\to(0,0)}\alpha(h,k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\beta(h,k)=0

一个多元函数  F 在某点可微,意味着它在这点对各个变元的偏导数存在,但是偏导数存在却不蕴含可微性。如果函数  F 在某点的一个邻域中每个一阶偏导数都存在且这些偏导数都在该点连续,那么函数  F 在该点可微,但是  F 在某点可微却又不蕴含一阶偏导数在该点连续。
这些基本事实可参见任何一本数学分析教材。

各个教材只讨论所有一阶偏导数连续是可微的充分不必要条件,却没有讨论可以把这个条件减弱到什么程度依然可以蕴含可微的结论。那么我们是否可以把这个条件减弱呢?

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四元数的初步总结(二)

三、四元数乘法的性质与几何意义

四元数的乘法不满足交换律,比如, ij=-ji,jk=-kj,ik=-ki。但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号,比如:
 (1+2i+3j+4k)(5+6i+7j+8k)=-60+12i+30j+24j

 (5+6i+7j+8k)(1+2i+3j+4k)=-60+20i+14j+32k
但是也不是所有的四元数都不遵循交换律,比如,
 (1+2i+3j+4k)(1-2i-3j-4k)=  (1-2i-3j-4k)(1+2i+3j+4k)=30

这个事情比较奇怪,两个四元数  p,q,它们不同顺序的乘积  pq qp 到底有什么关系呢?看一下刚才的三个例子,好像不管两个乘积是否相等,它们的实数部分都是相等的。
您可以再试验几个例子,看一看是不是这样,甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序,尝试更多的例子,看一看两个乘积到底有什么关系。但是在我们讨论之后,事情就会比较明朗了。

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