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用向量的内积证明勾股定理——体会代数的威力

勾股定理是几何中一条非常重要的定理,如果少了它,几何中几乎所有关于长度的计算公式都将失效,我们再也无法通过两点的坐标计算它们之间的距离,无法计算一条曲线的长度,无法知道圆的方程是二次曲线,它还间接地影响三角函数和复数等众多领域,可以说如果没有勾股定理,数学中大部分的内容将不得不被砍掉。

勾股定理的证明有很多种,其中有一些证法很麻烦,有一些较简洁,我国的商高、赵爽和古希腊的欧几里德都是在直角三角形的三边上各画一个正方形,然后用割补法证明直角边的两个三角形面积之和等于斜边上的三角形面积。近现代出现了很多简化的证明,其中有很多以面积为工具,有些已相似形理论为工具,等等。近年来又出现了利用微积分方法的证明,但它们都没有逃脱几何的影子,在证明中都是直接地考察一个直角三角形的几何图形。

关于代数与几何的关系,初中生有时候在做零星的几何题时会有所体会,比如,用方程的方式求解一条线段的长度,或求解一个角,或证明两个值之间的关系,等等。这些代数的零散应用依然没有逃出几何的框架。

代数第一次大规模进军几何领域应该是笛卡尔的解析几何。有了平面或空间上的坐标系,每一个点都有了一个坐标,使用两个或三个数组成的数组就可以表示一个点,几何的问题就通过坐标转换成了代数中的方程或计算的问题。不管多么困难的几何问题,通过转换,原则上都是可以用代数方法解决的。
不过,勾股定理在这个过程中起到了一个更加基础的作用,坐标系中两点之间的距离公式就是由勾股定理得出的,因此无法在解析几何中用这个公式再证明勾股定理了。
可见,在高中的解析几何中,虽然代数方法已经可以在几何领域大显身手,但几何还是占据了十分重要的基础地位。

真正将几何代数化,我认为是在向量被引入数学之后。从此,代数思想占据了几何中更加基础的位置。从勾股定理的向量证法中可以很深地体会这一点。

记向量u和v的内积为<u,v>,表示u向v投影的长度与v长度的乘积,再根据投影后的u和v是同向还是异向取正号或负号。
显然u,v垂直时 <u,v>=<v,u>=0,
并且可以很容易地证明<u+v,w>=<u,w>+<v,w>,<u,v+w>=<u,v>+<u,w>,
还有,一个向量的长度的平方就是它和它自己的内积:||u||²=<u,u>。

有了这些简单得近乎显然的性质,就可以轻松地推出勾股定理:
设直角三角形两边对应向量分别为u,v,那么斜边的长度就等于||u+v||,那么
||u+v||²=<u+v,u+v>=<u,u+v>+<v,u+v>=<u,u>+<u,v>+<v,u>+<v,v>。
因为<u,u>=||u||²,<v,v>=||v||²,<u,v>=<v,u>=0,故得勾股定理:
当u,v两向量互相垂直时,||u+v||²=||u||²+||v||²。

我相信有一些人在第一次见到这个证明的时候,都和我一样地感到惊奇,没有画任何图形,甚至没有考虑图形上的任何细节和特征,轻描淡写地几步运算,竟然就这么容易地推出了几何中一条基本定理!它像魔法师的兔子一样跳到你面前,你即使知道了证明的过程,还是不理解它究竟是为什么可以这么证明。你期望看到魔术师帽子里的秘密,或者,也许你能发现下面隐藏着循环论证的错误也说不定呢,就像用解析几何证明勾股定理一样的错误。

也许,把它原原本本地还原为一个几何的证明会对我们的理解有帮助,看看在这奇迹的背后究竟发生了怎样的过程。

第一步,||u+v||²=<u+v,u+v>,这步没什么可说的。
第二步,<u+v,u+v>=<u,u+v>+<v,u+v>,
这步应用了内积的线性性质,是关键的一步。在图形上跟踪一下这个过程:
zrclip_001n8b37757.png
我们在一个直角三角形中画出斜边上的高,将u+v向自己的投影分解成u向u+v的投影和v到u+v的投影之和,在图中u和v向斜边(u+v)的投影分别是直角三角形斜边上的顶点到垂足和垂足到另一顶点的向量,即AD和DC。把这一步还原成几何的语言就是AC²=AC*(AD+CD)。
第三步,<u,u+v>=<u,u>+<u,v>=<u,u>=||u||²,和<v,u+v>=<v,u>+<v,v>=<v,v>=||v||²,
这一步中有意思的是这里,<u,u+v>既可以看成u向u+v投影之后再与u+v乘积,也可以看成u+v到u的投影与u的乘积,即u的长度平方,因此这步翻译成几何的语言就是AB²=AD*AC。同样地有<v,u+v>=||v||²等价于BC²=AC*DC。而这正是初中生都熟知的射影定理。
由AC²=AC*(AD+CD)和AB²=AD*AC、BC²=AC*DC立即可以得到勾股定理。

至此,它背后的秘密算是完全揭开了:内积的实质就是投影,内积是线性的,是因为投影映射是线性的,内积的交换律也是由投影下形成的相似三角形性质决定的,它的特例就是射影定理,因此,用内积证明勾股定理,其实质就是用射影定理证明勾股定理。

但是,我还是觉得很神奇,因为在用向量分析的时候,我们只是在计算,虽然它实质上是射影定理,但在用向量内积推导的过程中我丝毫没有觉察出它跟几何有什么联系,与绞尽脑汁的几何证明题相比,我似乎在不知不觉中就被带到了真理的地方。可见,用向量方法分析和直接用射影定理证明勾股定理,其思维方式上是有很大差别的。这就是代数思维和几何思维的不同之处。

为了使直线上的几何问题代数化,人们引入正数和负数,为了使平面和空间的几何问题代数化,人们引入坐标系,这些都内在蕴含了向量的思想,但是都没有明确地把向量的概念提出来。随着经典力学的发展,随着人们对力、加速度、速度和位移这些概念之间关系的深入研究,矢量这个概念逐渐被人们认识并加以抽象概括,形成了向量代数。用向量描述世界,比以前的数和几何对象有更高的概括性和统一性,现在,以向量空间和它们之间的变换为主要研究对象的线性代数已经在各个应用领域中发挥着无法替代的作用。

我们再看一下在物理的能量守恒观点下的勾股定理。设想你把一个石块从手中斜抛出去,石块初始速度为v0,v0可以分解为水平速度v1和竖直速度v2,按照向量的写法,有 v_0=v_1+v_2。石块的初始动能为 \frac{1}{2}mv_0^2,经过一段时间,石块竖直方向的速度变为零,只剩下水平速度v1,这时它的动能为 \frac{1}{2}mv_1^2,因此有 \frac{1}{2}m(v_0^2-v_1^2)的动能减少,而势能增加量恰好是 mgh=\frac{1}{2}mv_2^2,注意它们之间的关系,当且仅当 v_0^2=v_1^2+v_2^2时,总的机械能是守恒的。也许,上帝在创造世界的时候,为了能让他的能量守恒原则成立,不得不承认勾股定理,或者反过来,因为要创造一个满足勾股定理的世界而使这个世界上的能量守恒。
想一想在这个过程中是什么发挥了主要作用,其中主要的决定性因素就是水平与竖直方向上的运动互不干扰,可以说两个方向无关,真实物体的运动是两个无关方向上运动的线性叠加,这样重力做功才跟路径无关,机械能守恒。

可以说世界上有很多问题,看似很复杂,但实际上可以分解成一些彼此无关的因素的线性叠加。利用这个特性,当考虑整体比较麻烦时可以把它分解,分而治之,然后再回到整体;而当分析众多错综复杂的分量有困难时也可以先从整体入手。而向量恰好是整体与分量的对立统一,这就是向量代数的力量源泉。

4月27日有关余弦定理的补充:
评论中有人说这个证明中用到了一些内积的性质是依赖于余弦定理的,而余弦定理又是来源于勾股定理,因此还是循环论证了。
我的观点在下面评论答复中已经说过了,内积的那些性质(在文中列出的用来证明勾股定理的那些性质:实数欧几里得空间内积的交换律、双线性、垂直时内积是零)没有一条是必须依赖于余弦定理的。现在补充一点,即使不用那个"u,v垂直时<u,v>=0"逻辑上仍然讲得通。
利用双线性和交换性(这两条性质依赖于平行和相似),有余弦定理(因此,余弦定理本质上是内积的二次展开式,这也是为什么余弦定理和二次的牛顿二项展开式那么相似):
||u-v||²=<u-v,u-v>=<u,u>+<v,v>-<u,v>-<v,u>=||u||²+||v||²-2<u,v>
||u+v||²=<u+v,u+v>=<u,u>+<v,v>+<u,v>+<v,u>=||u||²+||v||²+2<u,v>
当u,v垂直时,利用矩形两对角线长度相等(此依赖于三角形全等),有||u+v||=||u-v||,则有
<u,v>=<v,u>=0,和勾股定理||u-v||²=||u+v||²=||u||²+||v||²
这倒是个一举多得的证法。

向量外积与行列式的本质关系

在三维空间中,两个向量a和b的外积a×b定义为这样的一个向量:
1) |a×b|=|a||b|sin<a,b> 其中sin<a,b>表示a和b两向量夹角的正弦。
2) 若|a×b|≠0,那么a×b的方向垂直于a和b所在平面并且使a,b,c满足右手螺旋定则。

设i,j,k是三维空间中成右手定则关系的标准正交基底,a和b在这组基底下的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3),那么a×b可以用行列式形式地表示为

这个公式的由来,在一般的教材中,是先推导出外积的几个重要性质:
1) a×b = -b×a
2) (a+b)×c = a×c+b×c
3) a×(b+c) = a×b+a×c
4) a×(kb)=(ka)×b=k(a×b)
5) i×j=k,j×k=i,k×i=j
然后,就可以利用这些性质对以下式子进行展开:
 \displaystyle \textbf{a}\times \textbf{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)\times (b_1i+b_2j+b_3k)
最后化为上面的行列式表示。

但是,为什么外积可以如此规整地表示为一个行列式?难道只是巧合吗?一定有某些内在的原因。


 \displaystyle \textbf{c}=( \begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix})

首先,注意到 c 的三个分量是那个三阶行列式中的三个子式,利用行列式展开法则,我们可以很容易地证明c垂直于a和b:
 \begin{aligned}\textbf{c}\cdot\textbf{a}&=a_1\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ b_1&b_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ a_1&a_2  &a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\\ &=0\end{aligned}

 \begin{aligned}\textbf{c}\cdot\textbf{b}&=b_1\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\end{vmatrix}-b_2\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ b_1&b_3\end{vmatrix}+b_3\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} b_1&b_2&b_3\\ a_1&a_2  &a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\\ &=0\end{aligned}

那么,为了证明c就是a×b,我们还需证明 |c|=|a||b|sin<a,b> ,以及a,b,c满足右手螺旋定则。

为了证明三个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)满足右手螺旋定则,只需验证行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的值是非负的。为此,我们将c的坐标代入,并把此行列式按c的那一行展开,得到行列式的值等于 |c| ² ,因此它确实是非负的。

下面证明|c|=|a||b|sin<a,b> 。考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的几何意义,知道它是a,b,c三个向量组成的平行六面体的体积,前面我们已经知道它的数值等于 |c| ² 。又因为c垂直于a和b,那么下面的式子是成立的:
|c| ² =|a| |b| sin<a,b> |c| (因为体积等于底面积乘以高)
当c≠0时,我们直接可以得到 |c| =|a| |b| sin<a,b>。
当c=0时,我们任意取一个三维向量d=(d1,d2,d3),考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| d1 d2 d3 |
因为它总是0,即不论d是什么向量,a,b,d总是线性相关。我们可以断定a,b线性相关,从而|a| |b| sin<a,b>=0,同样有|c| =|a| |b| sin<a,b>。

这样,没有用到外积的那些难以推导的性质,直接用行列式的性质,我们就证明了上面的外积表达式,而且这个证明更能揭示它们之间的本质联系。

因为有这样的本质联系,我们可以把三维空间中两个向量的外积推广到n维空间中的n-1个向量的情形。但是需要注意的是向量的顺序与定向的问题:如果规定
a1,a2, ...,an-1,a1×a2×...an-1取正向,那么必须在表示外积的行列式中把基底那一行写在最下面,然后按照基底那一行展开成各个分量。

在初级线性代数中,有几个概念之间有密切联系,这些概念是:
1)行列式,2)3个向量张成多面体的有向体积,3)2个向量的外积,4)3个向量的混合积
其实1,2,4直接相等,证明的途径多种多样,这里列出了一种,与一般的教科书稍有不同,即先承认1)等于2),再由此推出3)的表达式,最后推得4)等于1)。
其实承认1)等于2)之后,4)等于1)是很自然的(根据外积和混合积的定义),然后用类似上文的方法也可以推出3)的表达式。
如果开始像一般的线性代数书那样推导3)的表达式,那么4)等于1)就是显然的,从而可以证明1)等于2)。
这些内容都可以向高维空间推广,这里就不赘述了。

无限论题暂停公告

经过好几个月这个话题一直没有再更新,因为遇到了两个不太好过的坎儿。
引入无穷的概念对数学家们来说是习以为常的。但我觉得从数学哲学的角度还是有些疑问。无穷在数学中处于什么样的地位?是必不可少还是可以绕道而走?在一个原本有限的公理系统中人为地加入一些无穷的对象,并加入了关于无穷对象的公理之后,新的系统与原来的系统相比,客观性保持不变还是减少了?需要先对哥德尔定理和模型论有深入地了解才能思考这个问题。现在我还缺少这方面的背景知识,几次试探地继续写,自己都无法满意。
还有一个回避不了的问题是悖论。看清楚悖论产生的根源比知道如何解决悖论更重要(更准确地说,如果不理解它们是如何产生的,就无法理解它们是如何被解决的,充其量只能算是回避)。因此接下来的论题就是讨论为什么会产生这些悖论,它们到底是些什么东西。这方面的内容我觉得我看过的所有的书中说的都不清楚,我怀疑写这些书的人是否真正把这些悖论想清楚了,他们只是人云亦云。从罗素的论著中摘抄出只言片语,不求甚解地写到自己的书里了。我想真正把悖论看得清析一些,这方面我自己有一些想法,但不成熟。也不会轻易地写出来。

过了这两个坎儿,后面的内容就相对平坦了:计划要从非标准分析的角度重新认识无穷小和无穷大,讨论超实数的形态。虽然最初的非标准分析是从模型论中发展而来的,但后来出现了非标准分析的一些简易模型,这部分还是很好理解的。然后试探地在超实数系统下引入无限小数。因为有理数在超实数系统中并不稠密,也就是说无法找到一个有理数列去逼近一个非零的无穷小,所以一般的无限小数无法精确地表示每个超实数,它们只能精确到无穷小单子的级别,为了对无穷小单子内部进行刻画,需要某种“超级”无限小数。

写这些东西对我来说还是太费时,本来业余时间就少,有那么多重要的事情要做,那么多东西要学,不可能把有限的业余时间都花在写作上面。另外,对这些“没用”问题的思考也让我错过了另外一些更重要更有趣的内容,现在是想办法弥补一下的时候了。

上帝是一位算术家还是一位几何学家?(下)

──复数的引入对柏拉图主义的支持

如果在数学的逻辑基础问题上过于追究,则数学的人为因素越来越大。这并不奇怪,如果问“为什么”问到终结,则答案只能归结为“第一推动”了。
然而,不要忘了,数学所描述的对象并不是人们凭空想象出来的,一个没有多少实用和理论价值而人为捏造的理论系统最终会被淘汰。数学的理论还是要为现实服务的,即使不能马上或直接地应用到现实中,至少也要间接地为那些服务于现实的理论服务,或至少在未来有可能成为指导现实的模型。数学中的人为因素与客观因素的关系颇像作家写的小说:作家写的小说大部分是虚构的,但作家不可能不着边际天马行空地编造,小说描述的至少应当折射出现实的影子,达到一种虚构的现实。即使是神话故事,也不应当不合情理。因此,作家写小说,经常会感觉到情节已经不受自己控制了,就好像小说里写的人物都是活的,写的事情都是正在实时地发生着一样。

对于数学,也有一种观点:虽然数学的概念并不独立地存在于现实中,却是存在于某个客观的“理念世界”中的。是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在,它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造,而是对这种客观存在的描述;数学新成果不是发明,而是发现。[1] 这就是数学柏拉图主义观点。之所以叫柏拉图主义,因为柏拉图提出过一个哲学观点,称为“理念论”,他认为世界由“理念世界”和“现象世界”所组成。理念的世界是真实的存在,永恒不变,而人类感官所接触到的这个现实的世界,只不过是理念世界的微弱的影子,它由现象所组成,而每种现象是因时空等因素而表现出暂时变动等特征。有一个著名的洞穴比喻来解释理念论:有一群囚犯在一个洞穴中,他们手脚都被捆绑,身体也无法转身,只能背对着洞口。他们面前有一堵白墙,他们身后燃烧着一堆火。在那面白墙上他们看到了自己以及身后到火堆之间事物的影子,由于他们看不到任何其他东西,这群囚犯会以为影子就是真实的东西。最后,一个人挣脱了枷锁,并且摸索出了洞口。他第一次看到了真实的事物。他返回洞穴并试图向其他人解释,那些影子其实只是虚幻的事物,并向他们指明光明的道路。但是对于那些囚犯来说,那个人似乎比他逃出去之前更加愚蠢,并向他宣称,除了墙上的影子之外,世界上没有其他东西了。柏拉图利用这个故事来告诉我们,“形式”其实就是那阳光照耀下的实物,而我们的感官世界所能感受到的不过是那白墙上的影子而已。我们的大自然比起鲜明的理型世界来说,是黑暗而单调的。不懂哲学的人能看到的只是那些影子,而哲学家则在真理的阳光下看到外部事物。[2]

这种观点听上去有点玄,但为了解释数学研究,尤其是涉及那些表面上看来离我们遥远的数学概念如无穷大的研究意义,以及人为创造的概念为何又不以人的意志为转移,数学为何又可以精确地用于实践,这种观点是不可忽视的。

下面举两个可以有力地支持数学柏拉图主义观点的例子,都是关于复数的:[3]
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上帝是一位算术家还是一位几何学家?(上)

——对数学基础的历史回顾

上帝是一位算术家——雅可比
上帝是一位几何学家——柏拉图

(警告:本文属于数学史演义,如有与真实的数学史冲突之处,请以正史为准。)

在日常生活中,为了解决事物个体的数目的种种问题,人们发展出了自然数和算术;又为了解决土地丈量问题,发展出了几何。在古希腊的毕达哥拉斯时代,毕达哥拉斯相信:“万物皆数”,即任何事物的本源都是数,世间的规律都是由算术法则决定的。就连几何,他也试图把图形的规律统一到算术中去。他认为,任意两条线段都可以找到第三条线段作为公比,使两条线段都为第三条线段的整数倍。在这一阶段,世界可以用数学解释,数学包括算术和几何,而算术与几何都是统一于算术的。上帝在这个时候还是个算术家。

然而,毕达哥拉斯自己发现的毕达哥拉斯定理却使他自己的“万物皆数”观念陷入了困境,不可公度比的发现,预示着算术与几何的分离。因为在几何中应用的算术都是建立在有理数的基础上的,有理数又是自然数发展出来的,当时在算术系统中没有可以表示不可公度比的那一类数,所以几何也就无法再归结为算术了,这引起了第一次数学危机,这次危机以欧多克斯那曲折繁琐的穷竭法告一段落。从此,代表几何上测量的“量”就从算术系统中脱离出来了。人们不再相信算术是整个数学的基础,算术与几何独立发展的时代到来了。欧几里德的《几何原本》开辟了几何公理化发展的新纪元。人们不禁感叹,宇宙中的万千条几何规律,竟然可以用严格的推理从几条显而易见的公理中推导出来!而算术中的“数”,无疑地可以包括在几何的“量”中。因此,柏拉图断言:上帝是位几何学家。

转眼到了高斯时代,这期间,笛卡尔的解析几何已成为公认的研究几何的新方法,人们似乎已经默认接受了无理数的存在。因为人们看到,不可约量(无理数)并不是异类分子,它们还是乖乖地遵守那些有理数的运算法则。到这一阶段,由算术发展出来的代数和欧氏几何已经构成一对完美的搭档,共同创造了诸多奇迹,其中尤以牛顿和莱布尼茨的微积分和牛顿的《自然哲学的数学原理》对后世的影响至关重要,标志着代数与欧氏几何对自然界完美的刻画。然而,历代数学家试图证明欧氏几何第五公设却不成功,使高斯敏锐地觉察到,欧氏几何并非是世界上唯一的一种几何,宇宙空间也并不显然是一定遵从欧氏几何规律的。
从高斯的怀疑到非欧几何被彻底地接受,欧氏几何作为数学基础的地位也越来越被动摇。人们发现,只要欧氏几何无矛盾,那么非欧几何同样没有矛盾。欧氏几何只是各种几何中的一种而已,是人们从眼前的有限世界中抽象出来的,在更大或更小的尺度,欧氏几何规律未必成立。那么一旦欧氏几何被从自然界法则的神坛上请下来,它的无矛盾性就是个未解决的问题。上帝或许是个几何学家,但我们无法知道上帝是用哪种几何创造的世界。
由于笛卡尔的解析几何工具,欧氏几何的无矛盾性就自然地归结为实数的无矛盾性了。然而,实数的无矛盾性又如何解决?那些无理数是谁也说不清楚的。这个问题由柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托那一批人解决了。从此实数可以划归为有理数,进而划归为整数、自然数。庞加莱和克罗内克等人相信,所有数学的基础问题都归结到了自然数中,而自然数的无矛盾性是显然的,凭直觉就可以判断。因此克罗内克说:“上帝创造了自然数,其它的一切都是人造的。”上帝在这个时候又变成了算术家。
同时代的皮亚诺等人不满意这种说法,他们认为,自然数还不是最终的基础,需要进一步归结为集合论,因为,在当时的数学主体中,集合的思想已经深入到了数学的每一个角落,数学家们都在自觉或不自觉地使用着集合,尤其,实数理论本身,即从自然数构筑实数的过程中,也是依赖于无穷集合的。集合,显然是自然界中更普遍存在的对象,自然数只不过是从某些特殊的集合中抽象出来的,或者,可以把它们等价划归为一类特殊的集合。在这些人的眼里,上帝就不单纯是算术学家或几何学家,而是集合学家,上帝创造了包罗万象的集合,集合再衍生万物。

然而,万能的上帝创造了包罗万象的集合,却创造不出他自己搬不动的石头,集合论的悖论出现了。因为推出悖论所用的方法在数学中那么普遍,逻辑上那么无懈可击,却得到了自相矛盾的结果,这不仅使集合论面临崩溃,连整个数学的基础都动摇了。上帝给人们变了个魔术而已,向人们展示了坚不可摧的数学大厦,实际上千疮百孔,最后行将化为美丽的肥皂泡。

针对这种情况,很多数学家试图扭转乾坤,他们基本上形成了三个派别:
一种认为,数学本质上可以划归为逻辑,上帝是逻辑学家。这是以罗素和怀特海为代表的逻辑主义学派。弗雷格即属于这一派。他们在前人形式逻辑的基础上发展出了数理逻辑,并试图把所有的数学,和数学当中所用到的逻辑规则都通过逻辑公理形式地推导出来。他们认为,之所以产生集合论悖论,是由于集合论中错误地使用了逻辑,错误地使用一种定义集合的方法,因此产生了一种“恶性循环”。为了正确使用逻辑,并保留集合论的主要内容,他们创建了分支类型论。上帝的能力也是分等级的,不存在一个万能的上帝,最无能的上帝创造了集合,集合也并非包罗万象,而这个上帝无法创造自己搬不动的石头,需要能力更高级的上帝来创造。然而,把数学归结为逻辑既繁琐又牵强,最后,本该由上帝创造的逻辑公理规则完全变成了人造的,罗素有假传上帝旨意之嫌。
另一个派别,布劳威尔主张的直觉主义,这一派别拒绝篡改上帝的旨意,也拒绝在上帝的旨意中添油加醋,他们是胆小谨慎的历史考古专家,任何对他们来说不可信的东西都要排除在他们的数学之外。庞加莱和克罗内克是这一派别的先驱。他们认为,只有那些可以在有限步骤构造出来的东西才可以确认是存在的,只有能在有限步骤之内检验的规律才是可信的。每个自然数可以在有限步骤之内构造出来,因此自然数的理论是可信的,但是自然数的全体——自然数集,则不可信,因此不存在。通常,我们认为直线是由不可数多个点构成的,但在他们的展型连续统中,至多只能有可数多个实数,而且这可数多个实数还是在不断生成着的。他们太谨慎了,最后发现能让他们相信的数学只有那么一点点而已。对他们来讲,上帝是个工匠,并且在永无休止地构建着他的世界。
还有一个对后世数学基础发展影响甚大的派别:形式主义派。他们认为,真理是否存在,上帝以何种方式创造世界,是个他们无法判定的问题。因此,他们只能揣测上帝的各种可能意图。他们把数学建成各种逻辑上自洽的形式公理系统,并且说:公理系统只是形式,并不代表世界上的任何实体和实体的规则。如果上帝按这组公理建造世界,则这套系统中的定理为真;如果上帝按那组公理建造世界,则那套系统中的定理为真。我们只需也只能保证我们的公理系统是无矛盾的,最好也是完备的。除此之外,我们一无所知。一切数学都是人造的,上帝是个未知数。然而,哥德尔证明,即使这样简单的要求也无法实现。

现在,数学的基础仍然是按照形式主义学派的主张建立的:数学的一切就是一个个人造的形式系统,只不过,既无法构造完备的数学公理系统,也无法证明现在的数学内部无矛盾。