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七、无穷真的客观存在吗?——芝诺悖论

数学上对于无穷的大量研究,使我们不禁要问:无穷在客观世界真的存在吗?
曾经人们认为宇宙的尺寸是无穷大的,但是现代的科学家普遍认为,宇宙也是有界的。那么凭我们的直觉,宇宙中的物质也很有可能是有限的。没有直接证据可以证明无穷大和无穷多的存在性。
无穷还可能有第三存在的状态:无穷小。那么无穷小是否客观存在?我们的空间是否无限可分?

芝诺悖论表明,这是最值得怀疑的。如果我们的时空无限可分,那么会有下面的芝诺悖论出现:
一位飞毛腿名叫阿基里斯。有一天他和一只乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处,他们同时同向开跑。比赛开始时,乌龟在阿基里斯前方十米;当阿基里斯跑完这十米,乌龟向前跑了一米;当阿基里斯跑完这一米之后,乌龟又向前跑了0.1米,阿基里斯跑0.1米,乌龟向前跑0.01米,……如此下去,每当阿基里斯经过一段时间的追赶,跑到乌龟所在地的时候,乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤,因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。
我们把乌龟作为参照物,就可以得到这样一个表述:一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1,然后再从C点移动到AC1中点 C2,到C2之后又要移动到AC2中点C3,……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的,因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的,那就意味着P不能从A点移动到任何一点,因此P的运动是不可能的。
事实上,我们把这一列点的顺序倒过来,就得到芝诺的另一个悖论:运动不可能。因为P从A点出发要移动到B,那它首先要移到AB终点C1,要移动到 C1,又要首先移动到AC1中点C2,……这样,P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1,这个要求是无限的。因此,P不可能动起来。
可以看到,只要假定时空无限可分,就会根据推理得到一个与事实不相符合的结果。
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六、0.00...1是个什么数?

某些人仍然根据有限小数的经验,认为,0.99...不等于1。他们认为,0.99...虽然是无限小数,但是有最后一位,就是在无穷远处的那一位,因此0.9循环可以写成0.99...9,显然它与1差了0.00...1,小数点后无穷个0,最后跟了个1。
这种关于无限小数的想法当然是错误的。回忆一下在实数系中引进无限循环小数的目的和依据:有理数在实数中稠密(即处处都有,任何一个小区间里都有有理数), \left\{\frac{m}{10^n}|m,n\in\mathbb{Z}\right\}又在有理数中稠密,因此它在实数集中也稠密。因此我们可以用一个m/10^n形式有理数的数列去逼近任何的实数。因此我们的无限小数作为{m /10^n}数列的完成式,在小数点后面跟着的就是个由0-9数字组成的数列,它的每一项都跟自然数有一一对应的关系,而自然数根本就没有最后一项。可见,0.99...是无法写成0.99...9的。

那么,0.00...1是个什么数?
首先指出,它既不是有限小数,也不是我们平常所见的无限小数,因此它根本不是一个实数。
它不是个有限小数,这是显然的,因为小数点后面有无穷个0。那它为什么不是无限小数呢?前面已经说过,任何一个无限小数,后面的小数位按从左到右的顺序与自然数一一对应,任何一个小数位都对应一个有限的自然数。反观0.0...1,最后的那个1,不对应任何有限的自然数,前面的无限多个0就已经把所有自然数都对应完了。从小数运算规律来看的话,如果要把0.0...1与0.99...相加,那么0.99...中所有的9都与0.0...1中的0对应相加,0.0...1最后的那个1要加在哪一位呢?如果按无限小数对应实数的规则把它放在实数轴上,它要放在哪里呢?它非负,又小于所有形如 1/10^n的数,这样的数只有0。因此前面的无限多个0就已经决定了它只能是0了,后面的1对它的值来讲没有意义,没有存在的必要。

虽然在实数的范围内它是没有必要存在的表达式,但我们依然有必要从形式上讨论它,因为现在的数系发展早已经超越了实数,从一维的实数扩展到高维的复数、四元数等;从标准的实数扩展到了非标准的超实数、广义实数等。所以数的范围在扩大,概念并不唯一。在其它数系中是否可能有它的身影呢?我们最好先看看这个数的特征。
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五、10X=9+X成立吗?

这是第二部分的开始,在这一部分里将接触到完完全全的无穷观念。无穷,因为充满神秘又扑朔迷离,所以它也就吸引了历史上大多数智慧头脑的兴趣,也引起了很多人的困惑和排斥。
下面进入正题:若X=0.99...,那么10X=9+X真的成立吗?

通常一些书上证明0.99...=1时是给出的这样的方式:
设0.99...=X,那么根据小数乘法的法则,一个小数乘以10小数点要向后移动一位,则
10X=9.99... (1)
但是因为0.999...为循环的,它有无穷多个9,小数点向后移动一位之后还是有无穷多个9,和以前一样都是无穷多个9在循环出现,因此应有
9.99...=9+0.99...=9+X (2)
故10X=9+X,得X=1.

有些人根据有限小数的经验,这样的反驳:虽然(1)式右边也是无限个9,但它是10*0.99...得到的,因为在0.99...基础上小数点向右移动一位才得到9.99...,所以(1)中的无限小数位数应为无穷大-1,比无穷大还少一个。虽然都是无穷大,但两个无穷大不一样。
如果你这样想,那么下面的论证你能解释吗?
1/3=0.3333...
10*0.3333...=3.333...
10*0.3333...=10/3=3+1/3=3.3333...
假设1/3的无限小数表示中循环的3的个数为k,那么在第二个式子中,用“小数点右移一位”得到3.333...的循环节3的出现次数为k-1,而在第三个式子中,把0.3333...转化为1/3,10*1/3=3+1/3,这个1/3,按前面的假设有循环3的为数为k,那么3+1/3小数点后也应该有k个3。
为什么同样的10*0.3333...,采用不同的计算方法得出循环节的个数不一样呢?难道跟计算途径有关吗?
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四、和无限小数很类似的连分式和无穷层根号连环套

有的人认为,无限小数也是有最后一位的,只是最后一位是在无穷远处,我们看不到了。甚至认为0.33...的最后一位不是3。
这种想法让我想起了高中时的一段往事。
那时还没有学习极限, 就有这样的问题:求

\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}}

 (1)
还有

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

 (2)
它们都是无限形式的式子,解决方法是列方程:对第一个式子,x=1/(1+x),对于第二个, x=\sqrt{1+x},每一个方程都有两个根,且都有一正一负,最后都把负的舍掉,以正值作为无限式的取值。
不过那时对老师的这种做法很有疑问:要说对于第二个式子,在实数中算术平方根总是正的,那么第一个式子为什么就一定是正的呢?如果它取负值,似乎也并没有什么矛盾。而且,简单地以第二个式子要取正值,就把负根舍掉,似乎比较牵强。万一两个都是正根呢?
能否出现两个正根的时候呢?故意找一个有两个正数根的二次方程,我也构造了一个类似的无穷形式:

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


这样列方程解出来的一个是2,一个是4,取那一个?把它们代入验证,都成立(那是当然的)。它到底是多少?这种式子不存在吗?为什么上面那个式子就合法存在,而这个就不行?
学了极限之后,我想到,这种无限延伸的式子应该就是一种极限。那么它是什么数列的极限呢?它们似乎是对某个数无穷次套根号或向上加无穷层分数线这个过程的一个最终结果了。它的发源地应该在无穷远的那一头,从无穷远的那一头,只有一个数的地方就是第一项,然后一次次地套上根号,一次一次地加上分数线,我们在无穷远的这头看到的只是最终的结果了,它的源头,它胎儿时期的形状已经看不见了。考虑

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


如果它胎儿时期是2,那么无论套多少次根号,总是2,如果胎儿时期是4,最后它也会是4。哦,跟初值有关!那么初值取其它值的时候这个式子又会是什么呢?可以证明,当初值取在[4/3,2)上时,经过有限次之后式子变得在实数中无意义;而当初值取大于2的任何值时,它最终是4,只有当初值为2时,它最终是2。(提示:可以在图像上看到这个迭代过程,在坐标系中画出f(x)=x和 g(x)=\sqrt{-8+6x}的图像,在坐标x0处,找到点(x0,g(x0)),从这一点平行于x轴做直线,与y=x相交于 (g(x0),g(x0)),再从这一点平行于y轴做直线,交g(x)图像于(g(x0),g(g(x0))),再向y=x做平行于x轴的直线...)
反过来思考上面的两个式子,不论初值取在哪一个正数,最后的结果都是一样的。而对于(1),初值取负数的时候是很有意思的。不妨自己分析一下。

上面的例子是否可以说明这样一个问题:对于一个无限的形式的表达式,如果单纯地认为它是一个数值,它可能是不确定的,而一旦我们从极限的角度分析,就会一下看到它的本质?

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}


这样的,无穷远处的那个根号下的值已经无法影响到它的值了,我们可以放心大胆地说它的值就是(1+√5)/2,而对于

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


我们只能说它不确定了。
类比于0.99...,最后那一位数是什么对它的值有任何影响吗?

三、实数定义概要

  整数分数统称有理数,无限不循环小数称为无理数,有理数无理数统称实数,实数与数轴上的点是一一对应的。
中学课本中这么简单几句话,要想透彻地把这几句话解释清楚,却需要很多知识,中学生是没有机会和精力学习这些知识的,一个人要想把实数系统理解透彻,需要消耗大学里相当长的一段时间,而这些知识又对数学的应用和理论发展用处不大,因此一般的大学,即使是数学系的本科,也不会系统地教授这些东西,默认你已经承认实数的那些通常的性质了。
  我在大学里花了相当长的一段时间研究实数的这些基础理论,研究数学的公理化方法,研究公理集合论。大学本科毕业时是我自己选题,写了毕业论文“实数的定义与性质”总结前人在这方面的工作。而今,这些都已经逐渐远去,一些技术细节也基本上忘记了。更糟糕的是,自己的毕业论文竟然没有留住,丢失了,虽然记得大概思路,但那些处理的细节已经记不得了。不过好在技术的处理并不是那么难而且大多数结论都能在书上找到。
  今天也并不打算论述实数定义的细节,那需要的篇幅不是我能承受的,写那些东西对别人也没什么用,只是提供一个大体过程,还有一些我那时所看的书,如果哪位对这个东西特别感兴趣,你先做个预习,然后在你读大学并且很有时间的时候去找书吧。
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