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二、实数中循环小数意义的补充说明

从这以后的连载系列内容都来自本人在百度帖吧的帖子。原帖地址:
http://tieba.baidu.com/f?kz=676219118

设a=0.33...(循环),它表示数轴上的哪一个点?我们在数轴上取这样一个线段序列:
首先,因为0<=a<=1,取第一段线段A1B1为0和1之间的线段[0,1];
然后,将A1B1十等分,看a的第一位小数,为3,那么取第二段线段A2B2为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.3,0.4]
再将A2B2十等分,看a的第二位小数,仍为3,那么取第三段线段A3B3仍然为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.33,0.34]
......
依此类推,得到一个线段序列AnBn,其中的任何一条线段都包含着下一条线段,并且随着n的增大线段长度可以达到任意小,与零无限接近。根据几何上的一些公理和性质(阿基米德公理和直线的完备性公理,其实也是实数的性质),在数轴上存在唯一一个点被所有线段覆盖,即存在唯一一个点在所有线段上,那么,0.33... (循环)就理所当然地应该表示这个点。容易证明,1/3就在所有线段上,因此0.33...(循环)就表示1/3。(从直觉上你也可以想象,如果0.33...(循环)能够表示一个点,那么它应该大于任何一个有限小数0.3333...33,而小于任何一个有限小数 0.33...34,即被我们做出的所有线段夹在中间,现在,恰好只有一个1/3就夹在中间。那么0.33...(循环)当然就表示1/3了。)
对于一般的一个正的无限小数a0.a1a2a3...,取A1B1为[a0,a0+1],将A1B1十等分,取A2B2为 [a0.a1,a0.a1+0.1],...,那么a0.a1a2a3...表示的是在所有AnBn线段上的唯一的那个点。(这里所说在线段上也包括线段的端点)

注意,0.33... (循环)应该表示的是1/3那个点,即使我们不做AnBn这些线段,0.33...(循环)表示的点依然是存在在数轴上的。0.33...(循环)既不是表示这些线段的序列,也不是表示这些线段的左端点序列,它就表示这些线段的交集:1/3那个点。那个点如果我们用3进制小数表示,只需要表示为0.1就可以了,如果用4进制小数,则表示为0.111循环,因为每次用4等分点划分线段时,它总是落在第一和第二等分点之间。

再看0.99循环这个数,依照上面的方法作出线段序列,看哪一个点在线段序列的所有线段上?显然,就是1。因此1有两种小数表示形式:1和0.999循环。因此0.999循环=1,是小数表示法的定义决定的。

上面无限小数的意义与我们通常所做的除法有什么关系呢?其实这个应该你自己去思考。这里略微提示:当1/3除不尽的时候,我们总是把余数添加一个0,而添加这个0就相当于把余数扩大为原来的十倍,这样下一位的商是什么意思呢?和我们上面讨论的把A1B1十等分有什么关系呢?
在做除法的每一步都时候,你都是得到了An,也就是得到的是上面讨论的线段的左端点,总是无法在有限的步骤里完全等于1/3,因此有人就认为无限循环小数无法准确表示1/3,但是错了,你每一步得到的只是左端点,只是个有限小数,当然无法完全等于1/3,但是0.33... (循环)却与这些左端点无关,他表示的是夹在所有An和 Bn之间的那个点,那就是1/3。

三年前写的有关芝诺悖论的文章

  这篇关于芝诺悖论的文章分两个部分,前一部分指出通常的极限理论并没能完整解决芝诺悖论,是三年前刚毕业时写的;后一部分分析芝诺悖论几种可能的解决途径,是第二年五一时写的。因为当时对非标准分析完全不了解,只是道听途说地把别人的描述照搬过来,有很多谬误。
  因为在《无限循环小数0.99...是否等于1》系列文章中,在讨论数学无限观的时候还要再次分析芝诺悖论和无穷小分析,所以这个就不归到连载里了。
  全文如下:

芝诺悖论漫谈(上)

  我在初中学习反比例函数的时侯,对函数图像和X轴“无限接近却永无交点”这件事很是不解。两个物体,就拿手中的两支笔为例,既然在相触之前可以“无限地接近”,那么这个接近的过程就应该是“永远无法完成的”,但它们最终还是碰到了一起了。它们是如何从“无限接近”的状态一下子就碰到一起了?
  我想一定有很多人有过我这样的困惑。然而我那时认为这也只是胡思乱想罢了,所以当时把它忽略了。
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一、无限小数在实数中的意义

这是三年以前写的一篇博客文章,原题叫《给初中生们讲解无限小数、无理数,以及0.999…等于1的问题》。后来被转载到百度百科的“无限小数”词条。本来是有出处的,后来博客被关闭,出处也被删掉了。原文如下:

0.99...=1这个结果是数学上确定的东西,但通常的解释都是要用极限理论的,对于一些中学生和某些没有很好理解极限理论的大学生们来说,他们还是有很多疑问的。因此,有些人想用各种迂回的办法说服他们,但这些解释往往又是不彻底的,很难有说服力。
今天我来用初等几何的方法给一个最接近极限理论和实数理论的解释。只要学过初中的平面几何,就应该能看懂。但我要讲的内容不仅限于此。如果你只对0.999…等于1的问题感兴趣,可以只看第四部分。但我相信其它部分对你也会有帮助的。
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0.99...循环是否等于1?(连载开始)

我发现,通过从不同角度对这个问题的探讨,可以把数学上对无穷的各种观点都串联起来。以这个问题为线索,可以写一大篇不错的数学科普文章。

本系列文章皆出自笔者以前的博客和在百度贴吧参与的讨论。由于时间有限,又三年左右没有碰过数学,文中难免有不当之处,敬请指正;有些话题未深入探讨,也属无奈;本人并非擅长文笔,有词语不通之处也望见谅。

本系列文章分两个大部分:
第一部分,论述这个问题在实数范围内是确定无疑的,其中又分两个小部分:第一小部分是用数轴讨论无限小数的意义,不涉及到实数定义之类,再补充对除法运算的论述,保证初中生能看懂。第二小部分略述实数定义,属于选读内容,对于没有高等数学基础的人,只要知道大概思路和大概过程就可以,对那些具体的数学概念和推导细节不用深究。
第二部分:理念中的无穷。基于第一部分的讨论,我们知道,在实数和极限定义的背景下,这是个确定无疑的命题,因此没有更多的讨论空间了。然而虽然第一部分包含一些极限的思想,也有无穷的观念在里面,但学过极限的人可以看到,在极限的定义中并没有涉及到真正的实无穷,第一部分也没有涉及到有关无穷的哲学问题:无穷真的客观存在吗?如果不是,数学讨论无穷的意义何在?实无穷有哪些特性是我们有限的世界中没有的?这部分还将讨论无穷的悖论问题。