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隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数 \( F(x,y)\) 满足
i) \( F(x_0,y_0)=0\)
ii) \( F(x,y)\) 与 \( F_y(x,y)\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续
iii) \( F_y(x_0,y_0)\not=0\)
则存在 \( \delta,\eta>0\) 和唯一的定义于 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 取值于 \( (y_0-\eta,y_0+\eta)\) 的函数 \( y=y(x)\) 满足
1) \( y_0=y(x_0)\),\( F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)\)
2) \( y(x)\) 在 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 内连续
进一步地,如果
iv) \( F_x(x,y)\) 也在 \( (x_0,y_0)\) 的一个邻域内连续,则上述的 \( y=y(x)\) 在 \( x_0\) 的一个邻域内一阶导数连续,且
\[ y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}\]

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了 \( F\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

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偏导数与可微性的进一步讨论

首先回顾一下多元函数的偏导数存在与可微的关系问题。

设 \( F(x,y)\) 是二元实函数,\( x_0,y_0\) 是其定义域的一个内点,如果存在两个实数 \( A,B\),使得对于极限过程 \( \sqrt{h^2+k^2}\to 0\),以下关系成立:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})\)
则称 \( F\) 在点 \( (x_0,y_0)\) 处可微。

据《数学分析新讲》(张筑生著,北京大学出版社,1990)第二册209页叙述,一个多元函数可微的等价叙述为:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+\alpha h+\beta k\)
其中 \( \alpha=\alpha(h,k), \beta=\beta(h,k)\) 满足
\[ \lim_{(h,k)\to(0,0)}\alpha(h,k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\beta(h,k)=0\]

一个多元函数 \( F\) 在某点可微,意味着它在这点对各个变元的偏导数存在,但是偏导数存在却不蕴含可微性。如果函数 \( F\) 在某点的一个邻域中每个一阶偏导数都存在且这些偏导数都在该点连续,那么函数 \( F\) 在该点可微,但是 \( F\) 在某点可微却又不蕴含一阶偏导数在该点连续。
这些基本事实可参见任何一本数学分析教材。

各个教材只讨论所有一阶偏导数连续是可微的充分不必要条件,却没有讨论可以把这个条件减弱到什么程度依然可以蕴含可微的结论。那么我们是否可以把这个条件减弱呢?

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为了尽快恢复功力,复习数学分析

用了半个月左右的时间粗浅地略读了《复分析,可视化方法》的前十一章,当然略去了所有加星号的内容和所有习题。整体的感觉是,四两拨千斤,比较精彩,很多以前不知道的问题现在茅塞顿开。但是有些地方的处理方式实在谈不上严格,以至于我在读到某些地方时不由得心存狐疑,他这种演绎发展数学的方式真的能有可靠的结果吗?

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指数函数 exp(x) 导数的直接求法

在我读高中的时候,数学课程里是没有微积分的,当时自学微积分,用的是一种很简明的数学手册,里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候,怎么也想不明白这个 \( y=e^x\) 的导数 \( y’=e^x\) 是怎么求出来的。

在当时那个信息闭塞的时代,我没有办法直接找到问题的答案,所有的证明都得依靠自己努力思考,才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全,这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等,都是通过自己的思考来做出的所谓的”证明”,当然都是不严格的,但大多数只缺少其中的某个环节罢了,比如 \( \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots\),当时想到了两边同时求导,只是对两个重要的环节苦思不解:幂级数逐项积分的合理性和 \( x=1\) 时怎么证明右边还等于左边。

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