我在写测度论的教材

上了研究生之后很少写博客了,一是因为没有太多时间,二是因为写东西的速度很少能跟得上接触新东西的速度,博客的“笔记”功能也就名不副实了,只能挑选一些特别大的主题记录一下.

现在,利用假期时间我计划写一本有关测度和积分理论的教材,没有人要求我写,也不指望拿这个去赚稿费,完全凭借兴趣,而且还要留一些时间学习新知识,所以假期的时间能写到哪就写到哪.

本书包含测度论和积分论中最基本的内容,我设想的完整目录结构如下:

绪论:从面积到测度,从黎曼积分到勒贝格积分
0.1 对面积的回顾
0.2 积分的物理与几何意义
0.3 为何要扩展Jordan 测度和黎曼积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 如何扩展测度和积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第一章测度理论
1.1 集合类、集合序列的极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 乘积空间中的半环与-环,Borel 域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 一般测度论,测度的延拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 集合的极限与测度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
附录1.A 有关可数个正数的和的讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第二章积分理论
2.1 可测函数与简单函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 可测函数的积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 积分的性质,单调收敛原理、Fatou 引理以及控制收敛原理. . . . . . . . . . .
2.4 与黎曼积分的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第三章各种收敛性
第四章几个常用公式在新积分下的讨论
4.1 Foubini 定理:重积分与累次积分的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 含参变量积分的连续性与可导性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 积分的变量替换公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 分部积分公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 牛顿-莱布尼茨公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章函数空间Lp
5.1 定义与完备性讨论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 几个子集的稠密性. .

当然,假期时间很短暂,不可能把整本书用一个假期都写完,争取写完前三章.从今天开始,我会分章把初稿贴在这里.

目前已完成“绪论”部分:下载链接在这.在绪论这一章回顾了初等教育中对长度、面积、体积的认识过程,并在此基础上介绍了Jordan和Lebesgue发展测度与积分理论的思路,为接下来的章节做必要的铺垫.

2014/07/27 更新:第一章已经完成,可以下载,同时删除旧文件.在第一章中主要讲述测度论的基础知识,包括半环、环、sigma环以及sigma域等重要概念,以及在这些集类上建立的测度理论.本章主要参考严加安《测度论讲义》以及徐森林《实变函数论》,同时零星参考其它几本测度论或实变教材,其中有几本是国外教材.在吸收各个教材的优点的同时,笔者还提出了自己对这方面知识的系统总结,并对一些定理和命题做出自己的证明方法,对一些问题提出了自己的见解.

2017/01/19 有很多人期待第二章,现在把未完成的第二章先放上来,但因为都是两年多前写的部分,当初就没来得及校对,再加上时过境迁,所以已放上来的部分都权且作为参考。有些打字错误因为现在没有带 ctex 的环境所以暂时只能这样。
测度与积分理论 第二章

函数e^{x^2} 的原函数为什么“积不出来”?

在大学学过微积分或数学分析的人都知道,有些函数的原函数是“积不出来”的,即不是初等函数。大多数的分析学教材讲到这个问题的时候都只是简单提到这个结果,即没有提到如何证明,因为太复杂,又没有说想要证明这样的结论到底需要哪方面的知识。
最近我得到一份巴黎高等师范学校1995年的入学考试题,以问题和提示的形式指导考生完整地证明 \int e^{t^2}\,\mathrm d t 的非初等性,以及它的理论基础:微分域中的刘维尔(Liouville)定理。

我大一的时候就对这个问题很好奇,所以借此机会做了这份试卷并将试卷翻译成中文,把它的证明方法介绍给国内的数学爱好者。另外原题中有些印刷错误,翻译时顺便改正了。

1,做这份试卷需要两方面的基础:复变函数和抽象代数理论。要知道巴黎高师虽然是法国顶尖的数学学府,但这份试题毕竟只是针对高中毕业并上过两年大学预科的学生,学历水平相当于国内大学三年级。因此,凡是国内大学数学专业并学过这两门课的学生都可以试做这份试题。
2,考试时间是4小时,但几乎不可能在短短4小时之内把这份题完整做出来,实际选拔是按照分数高低排序的。
3,这套题中有一些关于复变函数的结论是直接被承认的,比如“复数域的某个开集上定义的所有解析函数构成一个整环”,建议读者将这样的命题也证明出来,至少要知道为什么。
4,做过这份试题之后可以思考下面几个函数,判断它们的原函数是否是初等函数:
1) \frac{e^z}{z^n}; 2) \frac{\sin z}{z^n}; 3) z\tan z; 4) z^z
提示:试题中的做法都是代数的,但有些问题用复分析的理论能更轻松地看出结论,比如上面的第一个例子,应用试题第VI部分的某结论并结合留数定理,就会迎刃而解。

PDF下载:
ENS1995-Maths-zh_CN
法语原版可以在这里找到:
http://pomux.free.fr/corriges-1995/pdf/m95lm1ea.pdf
(如果链接失效,可直接google搜索 ens 1995 maths)

今天把我在Master2时写的论文放在这里,里面包含所有这个问题的答案(法语版),仅供参考。
M1 Mémoire