怎样用一般幂函数的积分公式理解y=1/x的积分

前一篇文章用了做定积分最原始的方法——分割做和取极限的方法重新理解了y=1/x积分中自然对数的来源。本篇文章回答上一篇中提出的问题:怎样把y=1/x的积分嵌入到常规幂函数积分公式\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C中。

如果你试图从公式\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C推导y=1/x的积分,多半会失败,因为把a=-1带进去,等式右边的分母为零,分子在x\neq 0时变成了1,整个式子变得没有意义。实际上y=1/x是幂函数里唯一一个另类,它的积分非但不能简单地从普通幂函数积分公式中得出,其结果反而超越了幂函数的范围。怎样理解这样的不和谐?昨天因为写前一篇文章的缘故,头脑中闪过另外一个念头,最后竟然成功地解释通了这个困扰多年的问题。

这个解释使用幂函数求导公式

(x^a)'=ax^{a-1},\> x>0


以后的推导中我们都假定x>0,不加赘述。为了使等式右边宝贵的x^{a-1}不被取0值的a破坏,我们把a移到等式左边:

\frac{(x^a)'}{a}=x^{a-1}


接下来注意,当a=0时,等式右边就是我们想要的x^{-1},但等式左边变成了0/0。这时自然想到用极限的过程代替直接取值,即令a\to 0,看看等式左边趋于什么极限?这时a就被理解成一个变量了,我们还是用字母y代替a比较好,同时,这里的导数也变成了偏导数:

\frac{\partial _x x^y}{y}=x^{y-1}


变一下形式理解等式左边:

\frac{\partial_x x^y-\partial_x x^0}{y}=x^{y-1}


y\to 0,得到

\left. \partial_y(\partial_x x^y)\right |_{y=0}=x^{-1}


如果两个偏导符号可以换序,那么我们就能够得到

\partial_x(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0})=x^{-1}


这样等式左边括号里面的函数就是我们要求的函数。括号里面的函数是什么呢?\partial_y x^y这是个指数函数的求导,\partial_y x^y=\partial_y e^{y\ln x} =x^y\ln x,所以括号里的函数正是\left. \partial_y x^y\right|_{y=0}=\ln x,于是有

(\ln x)'=\frac{1}{x}


那么上面的两个偏导符号是否可以换序呢?从多元变量分析中得知,当两个二阶偏导数之一在点(x,0)的某个邻域内存在且连续时,两个二阶偏导可以换序。那么计算其中一个二阶偏导数得到(注意:这里只能考察这个二阶偏导,因为另一个二阶偏导在计算的过程中应用了对数函数的导数,这在此时是不合理的。)

\partial_y(\partial_x x^y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x


容易知道它在(x,0)附近都是连续的,这样就保证了这种做法的合理性。

这种方法表面上是兜了一大圈,但它也提供给我们另外的信息:y=1/x的积分其实没有那么特殊,它是普通幂函数积分公式的一个极限结果。