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一端有吸收壁的随机游动

在李贤平《概率论基础》第三版,第88页起,讨论了直线上两种情况的随机游动:无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中,质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q,那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率:
p=q=\frac{1}{2} 时,为

\frac{b}{a+b}


p\not=q 时,为

\frac{(\frac{q}{p})^a-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}

那么,还剩下一种情况没有讨论,就是只在 0 点处放置吸收壁,在另一端无限制,然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。

一种可能的思路是,在上面两端吸收壁的结果中,令 b \to +\infty,从而得到以下结果:
p=q=\frac{1}{2} 时,被吸收的概率为1;当 q>p 时,结果也是1;当 q<p 时,结果为  (\frac{q}{p})^a。 但是,这种方法可能引起我们的担心,因为,我们求得两端吸壁的结果时,所列差分方程的的解依赖于 0 和 a+b 处给出的初值,而现在,b被无穷大代替,而无穷大又不是个具体的数,你不能说,质点在无穷大处怎样。 可以如下解释这个疑问:首先,将吸壁由 b 点移动到 b+1,则质点若被 b+1 处吸壁吸收,必首先经过 b 点,也就是质点被b+1 处吸收,这个事件蕴含质点被 b 吸收,那么它的概率就应该变小,从而质点被 0 点吸收的概率就是增大的。当只有0点有吸壁时,质点被0点吸收的概率就应该大于所有两端有吸壁的情况,因此是上面算式的极限情况。 这样说还是有些牵强。如果我们借鉴书上的处理方式,我们也可以列出差分方程来: 记 p_n 为质点初始位置为 n 时,其被 0 处吸壁吸住的概率。则显然 p_0=1。 如果质点在 n+1 处,那么它要经过两步才能被吸收:首先要经过一系列游走到达 n,由于另一端一直到无穷远处都无障碍,这个过程和它从 1 点到达 0 点而被吸收的过程没什么两样,因此它发生的概率为 p_1;之后要从 n 点到达 0 点被吸收,它的概率为 p_n。因此,有

p_{n+1}=p_1p_n

p_n={p_1}^n

接下来求 p_1。注意到书上列的差分方程

p_n=pp_{n+1}+qp_{n-1}

在这里依然有效,将上面 p_n 代入,得到

p_1=p{p_1}^2+q

求得 p_1=1p_1=\frac{q}{p}。 当 p=q=\frac{1}{2} 时,p_n=1;当 q>p 时,由于概率不可能大于1,故同样有 p_n=1;当 q<p 时,结果为  p_n=(\frac{q}{p})^n。 这个结果与上面取极限的结果一致。 对应于赌徒输光理论,如果对方有用不完的赌注,则当你的赌技没有对方高,或者你们两人旗鼓相当的时候,你的赌注必定全输光;而即使你的赌技比对方高,你仍有一定的几率输光赌注。但是,你也有机会赢得任意多的钱,只要你有足够的本。

概率论与数理统计笔记(前言)

虽然大学毕业之后做了很多和数学不相干的工作,但是正如我的留学动机信中所说,从高中到大学几年的训练,数学已经成为了一种母语,在我做过的所有事情,学过的所有东西当中,我还是更习惯于处理数学问题,只要有一问题可思考,随手弄来纸笔,画下一些公式图形,思维就处于"放松的活跃状态"。其它诸如编程,文本,语言学之类,都是后来习得,做起来多少有些"说外语,无法淋漓尽致"的感觉。因此,两年前就决定来留学。

这次决定更深入地了解一些数学的应用,不论是在经济金融等社会科学中,还是在工程技术中,概率统计是绕不过去的。正好来年需要,就趁这个假期好好温习一下。

大学学概率的时候我正忙着追问数学基础,总感觉如果不把数学的逻辑基础弄清楚,平时的推理都担惊受怕。对于概率,一是遇到了贝特朗奇论无法理解,对它的准确性产生怀疑,二是初学概率时总感觉它要么是高中排列组合的延伸,要么是测度论的应用,总之暂且放下对我的数学基础考察也没什么要紧。再加上看了几本概率书,没有解决那些根本上的困惑,因此不重视,只是最后考试之前突击,考试之后就忘掉了。以至于后来谁要是问我半点跟概率有关的问题,我都得明确地回答他:"概率统计忘掉了。"

这次经朋友推荐,读了陈希孺的《概率论与数理统计》,忽然就觉得理解了很多,甚至茅塞顿开的感觉,关键原因在于,他不是简单地介绍概念罗列公式和定理,而是重在揭示这些东西背后的概率统计思想。这让我不禁感慨,自从初学概率到现在七八年,今天才开始入门!曾经觉得概率统计无非是其它更基础数学分支推演出来的东西,今天才理解,概率的思想绝不是任何其它数学部分所蕴涵的。以数学的角度看统计,只能看到一个逻辑框架,是概率语言的语法,但真正核心的东西,是思想,是语义。难怪很多学校的统计学要独立设置成一个专业。

但是毕竟它是为非数学系准备的入门书籍,讲述道理虽然深入浅出,但涉及到一些基本概念就缺乏一种深刻性,比如概率的确切定义,概率在什么样的样本集上可以定义,试验、事件、基本事件在数学上如何表述,这些内容都无法解释清楚。这就还需要一本数学系用书作为补充。大学时看过李贤平的《概率论基础》,那时是第二版,我对它第二版的表述印象不好,最近找到第三版,发现改进了许多。因此这一系列笔记就是以这两本书为基础。

这么多年学习数学,一个最深的体会,就是学习新东西就像盲人进入一间陌生的屋子,别人能间接告诉你哪个东西在哪里,什么样子,这样你也无法熟悉屋子里的一切。只有你自己摸索一番,自己勾勒出屋子的全貌,你才能在这个屋子里行动自如。所以,最好的方法还是自己构建知识体系。

新空间,新开始

为了学习法语,这个博客自从两年多以前就一直没怎么动过,当然数学方面也一直没怎么长进,原来在这里写下的计划也一直停滞不前。现在,因为我要继续上数学方面的硕士,我觉得还是有必要纪录这方面的东西。

原来的那个72松站点在我没有预知的情况下就消失了,不过好在我以前写的文章都保存住了,只是损失了2011年之后的部分评论。我后来有试图把博客建立在wordpress.com,但那里的环境跟以前不一样,尤其是 latex 环境,好多公式都显示不出来,它还无法自己配置插件。因此我还是下决心自己弄个个人空间自己搭建个平台。经过两天的奋战,这里终于和以前一样了。

因为在导入文章的时候 latex 公式里所有的反斜杠 \ 都不见了,所以有些文章我是重新手动添加的 \ 。有些地方难免会遗漏或弄错。如果您觉得某个公式看上去不正确,很可能就是这个原因,请在评论中指出,谢谢。

图示矩阵分块乘法

在本博客文章《理解矩阵与矩阵乘积(三)》六、矩阵分块的实质中,已经提到过矩阵分块乘法是有清晰的几何意义的。写那篇文章的时候我的头脑中还浮现出一个图表,为什么矩阵乘法和分块的乘法有一样的计算规则,在图表中一目了然。但当时嫌画图太麻烦没有画出来。几个月过去了,那篇文章的浏览量也不小,但似乎那篇文章说得还不够清楚。因此这里把当时想到的图表补充进来。


图示:2x3与3x2分块矩阵的乘法

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点集拓扑要义(二)

(五)拓扑空间中的序列极限与集合聚点

极限是序列的极限,聚点是点集的聚点。但二者却有很大的联系,在欧氏空间或更一般的度量空间中,x 是一个点集的聚点,当且仅当在这个点集中可以取出一列收敛到 x 但每一项都不等于 x 的点列;如果 x 是一个序列的极限,并且这个序列中有无限多项不等于 x,那么 x 就是这个序列元素构成集合的聚点。
这一节试图充分讨论极限与聚点在一般的拓扑空间中的关系。

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