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点集拓扑要义(一)

分析教材中有一部分是点集拓扑中的内容在欧氏空间中的应用,所以索性在温习的时候把点集拓扑也顺便复习一遍。当年我们用的是熊金城的《点集拓扑讲义》作为教材,所以现在还用这本书为底本做一些笔记性的补充。

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隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数 \( F(x,y)\) 满足
i) \( F(x_0,y_0)=0\)
ii) \( F(x,y)\) 与 \( F_y(x,y)\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续
iii) \( F_y(x_0,y_0)\not=0\)
则存在 \( \delta,\eta>0\) 和唯一的定义于 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 取值于 \( (y_0-\eta,y_0+\eta)\) 的函数 \( y=y(x)\) 满足
1) \( y_0=y(x_0)\),\( F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)\)
2) \( y(x)\) 在 \( (x_0-\delta,x_0+\delta)\) 内连续
进一步地,如果
iv) \( F_x(x,y)\) 也在 \( (x_0,y_0)\) 的一个邻域内连续,则上述的 \( y=y(x)\) 在 \( x_0\) 的一个邻域内一阶导数连续,且
\[ y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}\]

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了 \( F\) 在 \( (x_0,y_0)\) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

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偏导数与可微性的进一步讨论

首先回顾一下多元函数的偏导数存在与可微的关系问题。

设 \( F(x,y)\) 是二元实函数,\( x_0,y_0\) 是其定义域的一个内点,如果存在两个实数 \( A,B\),使得对于极限过程 \( \sqrt{h^2+k^2}\to 0\),以下关系成立:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})\)
则称 \( F\) 在点 \( (x_0,y_0)\) 处可微。

据《数学分析新讲》(张筑生著,北京大学出版社,1990)第二册209页叙述,一个多元函数可微的等价叙述为:
\( F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+\alpha h+\beta k\)
其中 \( \alpha=\alpha(h,k), \beta=\beta(h,k)\) 满足
\[ \lim_{(h,k)\to(0,0)}\alpha(h,k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\beta(h,k)=0\]

一个多元函数 \( F\) 在某点可微,意味着它在这点对各个变元的偏导数存在,但是偏导数存在却不蕴含可微性。如果函数 \( F\) 在某点的一个邻域中每个一阶偏导数都存在且这些偏导数都在该点连续,那么函数 \( F\) 在该点可微,但是 \( F\) 在某点可微却又不蕴含一阶偏导数在该点连续。
这些基本事实可参见任何一本数学分析教材。

各个教材只讨论所有一阶偏导数连续是可微的充分不必要条件,却没有讨论可以把这个条件减弱到什么程度依然可以蕴含可微的结论。那么我们是否可以把这个条件减弱呢?

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四元数的初步总结(二)

三、四元数乘法的性质与几何意义

四元数的乘法不满足交换律,比如,\( ij=-ji,jk=-kj,ik=-ki\)。但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号,比如:
\( (1+2i+3j+4k)(5+6i+7j+8k)=-60+12i+30j+24j\)

\( (5+6i+7j+8k)(1+2i+3j+4k)=-60+20i+14j+32k\)
但是也不是所有的四元数都不遵循交换律,比如,
\( (1+2i+3j+4k)(1-2i-3j-4k)=\) \( (1-2i-3j-4k)(1+2i+3j+4k)=30\)

这个事情比较奇怪,两个四元数 \( p,q\),它们不同顺序的乘积 \( pq\) 和 \( qp\) 到底有什么关系呢?看一下刚才的三个例子,好像不管两个乘积是否相等,它们的实数部分都是相等的。
您可以再试验几个例子,看一看是不是这样,甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序,尝试更多的例子,看一看两个乘积到底有什么关系。但是在我们讨论之后,事情就会比较明朗了。

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四元数的初步总结(一)

前一阵子,以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法,其中涉及齐次坐标和四元数。齐次坐标问题到好讲解,但四元数方面以前所知几乎为零。正好我看到齐民友在《复分析,可视化方法》译后记中提到的一本书:《高观点下的初等数学》([德]克莱因 著,以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数,于是就细读了一遍,把这个专题的整理笔记写下来。

但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算,让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果,让四元数的特性看起来更直观,更自然。另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识,例如数域的扩充问题的证明,那本书里只有一部分提示,这里也试着补全一些。

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