四元数的初步总结(二)

三、四元数乘法的性质与几何意义

四元数的乘法不满足交换律,比如, ij=-ji,jk=-kj,ik=-ki。但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号,比如:
 (1+2i+3j+4k)(5+6i+7j+8k)=-60+12i+30j+24j

 (5+6i+7j+8k)(1+2i+3j+4k)=-60+20i+14j+32k
但是也不是所有的四元数都不遵循交换律,比如,
 (1+2i+3j+4k)(1-2i-3j-4k)=  (1-2i-3j-4k)(1+2i+3j+4k)=30

这个事情比较奇怪,两个四元数  p,q,它们不同顺序的乘积  pq qp 到底有什么关系呢?看一下刚才的三个例子,好像不管两个乘积是否相等,它们的实数部分都是相等的。
您可以再试验几个例子,看一看是不是这样,甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序,尝试更多的例子,看一看两个乘积到底有什么关系。但是在我们讨论之后,事情就会比较明朗了。

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四元数的初步总结(一)

前一阵子,以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法,其中涉及齐次坐标和四元数。齐次坐标问题到好讲解,但四元数方面以前所知几乎为零。正好我看到齐民友在《复分析,可视化方法》译后记中提到的一本书:《高观点下的初等数学》([德]克莱因 著,以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数,于是就细读了一遍,把这个专题的整理笔记写下来。

但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算,让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果,让四元数的特性看起来更直观,更自然。另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识,例如数域的扩充问题的证明,那本书里只有一部分提示,这里也试着补全一些。

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