隐函数定理的补充,隐函数可导性与可微性的讨论

定理1(隐函数定理):设二元函数  F(x,y) 满足
i)  F(x_0,y_0)=0
ii)  F(x,y) F_y(x,y) (x_0,y_0) 的某个邻域内连续
iii)  F_y(x_0,y_0)\not=0
则存在  \delta,\eta>0 和唯一的定义于  (x_0-\delta,x_0+\delta) 取值于  (y_0-\eta,y_0+\eta) 的函数  y=y(x) 满足
1)  y_0=y(x_0) F(x,y(x))=0,\forall xin(x_0-\delta,x_0+\delta)
2)  y(x) (x_0-\delta,x_0+\delta) 内连续
进一步地,如果
iv)  F_x(x,y) 也在  (x_0,y_0) 的一个邻域内连续,则上述的  y=y(x) x_0 的一个邻域内一阶导数连续,且

  y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}

这就是南开大学《数学分析》(黄玉民,李成章 编)下册中隐函数定理的二元函数情形。而在某些教材上,只讨论了  F (x_0,y_0) 的某个邻域内连续可微的情形,如张筑生版的《数学分析新讲》。

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偏导数与可微性的进一步讨论

首先回顾一下多元函数的偏导数存在与可微的关系问题。

 F(x,y) 是二元实函数, x_0,y_0 是其定义域的一个内点,如果存在两个实数  A,B,使得对于极限过程  \sqrt{h^2+k^2}\to 0,以下关系成立:
 F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+o(\sqrt{h^2+k^2})
则称  F 在点  (x_0,y_0) 处可微。

据《数学分析新讲》(张筑生著,北京大学出版社,1990)第二册209页叙述,一个多元函数可微的等价叙述为:
 F(x_0+h,y_0+k)-F(x_0,y_0)=Ah+Bk+\alpha h+\beta k
其中  \alpha=\alpha(h,k), \beta=\beta(h,k) 满足

 \lim_{(h,k)\to(0,0)}\alpha(h,k)=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\beta(h,k)=0

一个多元函数  F 在某点可微,意味着它在这点对各个变元的偏导数存在,但是偏导数存在却不蕴含可微性。如果函数  F 在某点的一个邻域中每个一阶偏导数都存在且这些偏导数都在该点连续,那么函数  F 在该点可微,但是  F 在某点可微却又不蕴含一阶偏导数在该点连续。
这些基本事实可参见任何一本数学分析教材。

各个教材只讨论所有一阶偏导数连续是可微的充分不必要条件,却没有讨论可以把这个条件减弱到什么程度依然可以蕴含可微的结论。那么我们是否可以把这个条件减弱呢?

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