子空间和的维数定理与容斥原理

两个有限维子空间的和的维数定理:
dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1 ∩ U2)
两个有限集合元素个数的容斥原理:
card(U1∪U2)=cardU1+cardU2-card(U1 ∩ U2)

子空间的和类比于集合的并,那么维数定理和容斥原理形式上及其相似。为什么会有如此的巧合?
可以看到子空间的基底构成的集合在维数定理中扮演一个很重要的转换作用:选择U1 ∩ U2的基底并分别扩充到U1和U2的基底之后,设U1和U2的基底构成的集合分别为A1和A2,那么U1+U2, U1 ∩ U2的基底就分别对应A1∪A2和A1∩ A2。因此两个公式相似也就不足为奇。

那么是否可以把维数定理推广到多个子空间的情形呢?考虑三个子空间的情形,类比于三个集合的容斥原理
card(U1∪U2∪U3)=cardU1+cardU2+cardU3-card(U1 ∩ U2)-card(U2 ∩ U3)-card(U1 ∩ U3)+card(U1 ∩ U2∩ U3)
是否也有类似的三个子空间和的维数定理
dim(U1+U2+U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U3)+dim(U1 ∩ U2∩ U3)
成立呢?

循着它们之间的类比关系,我们可以先选取U1 ∩ U2∩ U3的基底,然后分别扩充到U1 ∩ U2、U2 ∩ U3和U1 ∩ U3的基底,再接着分别在U1、U2、U3中扩充成U1、U2、U3各自的基底,这种类比关系似乎可以轻松延续。
沿着另一条路似乎也可以到达目的地:即通过将U1+U2+U3写成(U1+U2)+U3,并应用两个子空间的维数定理一步一步地证明三个子空间的情形。现在先看看这条路:
dim(U1+U2+U3)=dim(U1+U2)+dimU3-dim((U1+U2)∩ U3)=dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim((U1+U2)∩ U3)
如果类比容斥原理的式子能够成立,应该有
dim((U1+U2)∩ U3)=dim(U1 ∩ U3)+dim(U2 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U2∩ U3)
会有这样的式子成立吗?考虑平面上两条坐标轴,和一条过原点但不与坐标轴重合的直线,这三个一维子空间任意两个的直和是整个二维空间,则
dim((U1+U2)∩ U3)=1,dim(U1 ∩ U3)+dim(U2 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U2∩ U3)=0,
显然上面提出的三个子空间的维数猜想不成立。

为什么这时这种类比就不成功?我们先前的想法,先选取U1 ∩ U2∩ U3的基底,然后分别扩充到U1 ∩ U2、U2 ∩ U3和U1 ∩ U3的基底,再接着分别在U1、U2、U3中扩充成U1、U2、U3各自的基底,为什么这时得到的这些向量就不是U1+U2+U3的基底了?

参见《Linear Algebra Done Right第一章注记和部分习题》注记中提到的问题,V1,V2,...,Vn两两相交于{0},即基底的集合两两相交为空集并不能保证它们的和是直和,这个只有n=2时是个特例,因此只有两个子空间的维数定理,且可以与集合基数的容斥原理作类比,三个以上子空间的情况就变得更复杂。

但是,我们依然可以证明三个子空间和的维数不等式:

\begin{aligned}\textrm{dim}(U_1+U_2+U_3)\leq&\textrm{dim}U_1+\textrm{dim}U_2+\textrm{dim}U_3-\textrm{dim}(U_1\cap U_2)-\textrm{dim}(U_2\cap U_3)\\&-\textrm{dim}(U_1\cap U_3)+\textrm{dim}(U_1\cap U_2\cap U_3)\end{aligned}

可以从上面讨论过的两个方向达到证明,但这里只列举一个证明。

证明:首先证明 U1∩U3+U2∩U3 是 (U1+U2)∩ U3 的子空间,从而 dim((U1+U2)∩ U3) ≥ dim(U1∩U3+U2∩U3)
设 v∈U1∩U3+U2∩U3,则存在 U1∩U3 中的元素 u 和 U2∩U3 中的元素 w 使得 v=u+w
而u+w∈U1+U2且u+w∈U3,因此 v=u+w∈(U1+U2)∩ U3
接下来就可以证明结论:
dim(U1+U2+U3)
= dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim((U1+U2)∩ U3)
≤ dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U1∩U3+U2∩U3)
= dimU1+dimU2+dimU3-dim(U1 ∩ U2)-dim(U1∩U3)-dim(U2∩U3)+dim(U1∩U2∩U3)
证毕。

容斥原理不仅可以用交集计算并集中元素的个数,还可以通过并集反过来计算交集的元素个数。例如:
card(U1 ∩ U2∩ U3) =cardU1+cardU2+cardU3-card(U1∪U2)-card(U2∪U3)-card(U1∪U3)+card(U1∪U2∪U3)
此公式和并集的容斥原理之间可以用余集的德-摩根定律进行转换。

那么有了三个子空间和的维数不等式,我们是否也可以转换出关于三个子空间交集维数的某个不等式呢?我们需要有可以与集合的余集相类比的子空间的关系。
如果你了解内积空间中子空间的正交补空间的概念,那么用正交补与有限集合的余集做类比应该是一个自然的想法。

一个子空间  U 的正交补空间  U^\perp 是垂直于U中所有向量的向量构成的子空间。容易证明,正交补满足如下性质:

1) {U^\perp}^\perp=U
2)  (U+V)^\perp =U^\perp \cap V^\perp
3)  (U\cap V)^\perp =U^\perp + V^\perp
4)  \textrm{dim}U^\perp=n-\textrm{dim}U

证明:现只证明2)和3):对于2),因  (U+V)\supset U,故  (U+V)^\perp\subset U^\perp。同理有  (U+V)^\perp\subset V^\perp。因此  (U+V)^\perp\subset U^\perp\cap V^\perp
另一方向, \forall w\in U^\perp \cap V^\perp, \forall u+v\in U+V, w\perp u, w\perp v,因此  w\perp (u+v),即  w\in (U+V)^\perp,因此  (U+V)^\perp\supset U^\perp\cap V^\perp。故2)成立。
对于3),只需在2)中分别用U和V的正交补代替U和V,两边取正交补,再利用1)式即得证。

那么利用正交补(注意有限维向量空间都同构于某个内积空间)的性质,我们可以把上面的三个子空间的维数不等式翻转,得到它的对偶不等式:

\begin{aligned}\textrm{dim}(U_1\cap U_2\cap U_3)\geq&\textrm{dim}U_1+\textrm{dim}U_2+\textrm{dim}U_3-\textrm{dim}(U_1+U_2)-\textrm{dim}(U_2+U_3)\\&-\textrm{dim}(U_1+U_3)+\textrm{dim}(U_1+U_2+U_3)\end{aligned}


证明:

\begin{aligned}\textrm{dim}(U_1\cap U_2\cap U_3)=&n-\textrm{dim}(U_1\cap U_2\cap U_3)^\perp\\=&n-\textrm{dim}(U_1^\perp+U_1^\perp+U_3^\perp)\\\geq&n-\textrm{dim}U_1^\perp-\textrm{dim}U_2^\perp-\textrm{dim}U_3^\perp\\&+\textrm{dim}U_1^\perp\cap U_2^\perp+\textrm{dim}U_2^\perp\cap U_3^\perp\\ &+\textrm{dim}U_1^\perp\cap U_3^\perp-\textrm{dim}U_1^\perp\cap U_2^\perp\cap U_3^\perp\\=&\textrm{dim}U_1+\textrm{dim}U_2+\textrm{dim}U_3-\textrm{dim}(U_1+U_2)\\&-\textrm{dim}(U_2+U_3)-\textrm{dim}(U_1+U_3)+\textrm{dim}(U_1+U_2+U_3) \end{aligned}

可惜的是,即使是这样的不等式,也不具备一般性,当子空间个数增加到四个之后,这样的不等式也不一定成立了。
设想三维空间的三个坐标平面,外加一个过原点但不过任何坐标轴的平面,这四个平面两两相交于一条直线,但任意三个平面只相交于原点。因此,有:
dim(U1+U2+U3+U4)=3
dimU1+dimU2+dimU3+dimU4-dim(U1 ∩ U2)-dim(U2 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U3)-dim(U1 ∩ U4)-dim(U2 ∩ U4)-dim(U3 ∩ U4)+dim(U1 ∩ U2∩ U3)+...=2
所以关于维数的容斥原理或"容斥不等式"不适用于多于三个的子空间。