用定积分的定义计算双曲线下方图形的面积

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利用微积分的知识可知,反比例函数 y=1/x 的不定积分是 \int \frac{1}{x}\mathrm d x=\ln x+C,由此得出,贴子中出现的阴影部分的面积要用对数表示,设A的纵坐标和  B的横坐标分别是yx,那么这个面积是1+\ln x+\ln y。由此也可以得出,当xy都趋于无穷大时,面积的表达式也趋于无穷大,所以双曲线与坐标轴之间的面积为无穷大。

很多人在学习数学的时候仅仅满足于知道一个结论,或者满足于弄懂书上给的证明,就以上提出的面积问题,通过牛顿-莱布尼茨公式求面积的方法自然是非常普适的方法,任何人也不会怀疑由它得出的结论。但是,从我一开始初学微积分的时候就对这个结论充满好奇,总是在想,如此简单的反比例函数怎么和对数函数联系在一起了呢?反比例函数仅比多项式函数稍微复杂了一点,为什么它的积分是个超越函数?而且,这是幂函数里唯一的一个“特殊分子”:其他的幂函数的积分都还差不多是幂函数,只有y=1/x这个怪物。

牛顿-莱布尼茨公式是一种解释,但这种解释很难让人有切实的体会。受上面那篇贴子中问题的启示,我找到了另外一种更直观、更初等的计算这个面积的方法,可以让人在图中切切实实地“看到”一个对数函数出现的过程。需要用到的知识:定积分计算面积的思想方法(分割、做和、取极限),以及一个有关e的极限:\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e。我将以问题的形式启发读者自己去完成这个计算过程。

首先,解决贴子中的问题:不用微积分的知识,只用初等方法,证明y=1/x下方图形的面积是无穷大。

1) 在双曲线上任意一点向两坐标轴做垂线,证明这两条垂线与坐标轴形成的矩形的面积与点的位置无关,这个面积是多少?
2) 用上述特性在双曲线与坐标轴之间做出无穷多个互不重叠的矩形,并且每个矩形的面积不小于一个定值,比如0.9。(提示:先做出一个面积为1的正方形,再做出一个 1)中所描述的矩形,二者重叠部分的面积有什么特点?)

然后,计算双曲线下方[1,t]之间曲边梯形的面积:
3) 将 2) 中的矩形面积不断减小,比如,让所有矩形的面积都等于\epsilon(那个正方形除外),这些矩形的宽度就会不断减小,[1,t]之间的曲边梯形就会逐渐被一些面积相等的矩形所铺满。计算[1,t]之间矩形的个数,并用\epsilon表示。
4)计算这些矩形的总面积,并计算当\epsilon\to 0时的极限。证明这些小矩形的宽度随着\epsilon\to 0而趋于零。根据反比例函数在[1,t]上的可积性,这些矩形总面积的极限就是曲边梯形的面积。

至此,你应该看到对数和e分别是在哪一个步骤里出现了。下面是一个额外的问题:
5)为了比较y=1/xy=1/x^2的差别,把这套策略改造一下应用到函数y=1/x^2上,并解释为什么对数函数没有出现在y=1/x^2的下方。