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无限论题暂停公告

经过好几个月这个话题一直没有再更新,因为遇到了两个不太好过的坎儿。
引入无穷的概念对数学家们来说是习以为常的。但我觉得从数学哲学的角度还是有些疑问。无穷在数学中处于什么样的地位?是必不可少还是可以绕道而走?在一个原本有限的公理系统中人为地加入一些无穷的对象,并加入了关于无穷对象的公理之后,新的系统与原来的系统相比,客观性保持不变还是减少了?需要先对哥德尔定理和模型论有深入地了解才能思考这个问题。现在我还缺少这方面的背景知识,几次试探地继续写,自己都无法满意。
还有一个回避不了的问题是悖论。看清楚悖论产生的根源比知道如何解决悖论更重要(更准确地说,如果不理解它们是如何产生的,就无法理解它们是如何被解决的,充其量只能算是回避)。因此接下来的论题就是讨论为什么会产生这些悖论,它们到底是些什么东西。这方面的内容我觉得我看过的所有的书中说的都不清楚,我怀疑写这些书的人是否真正把这些悖论想清楚了,他们只是人云亦云。从罗素的论著中摘抄出只言片语,不求甚解地写到自己的书里了。我想真正把悖论看得清析一些,这方面我自己有一些想法,但不成熟。也不会轻易地写出来。

过了这两个坎儿,后面的内容就相对平坦了:计划要从非标准分析的角度重新认识无穷小和无穷大,讨论超实数的形态。虽然最初的非标准分析是从模型论中发展而来的,但后来出现了非标准分析的一些简易模型,这部分还是很好理解的。然后试探地在超实数系统下引入无限小数。因为有理数在超实数系统中并不稠密,也就是说无法找到一个有理数列去逼近一个非零的无穷小,所以一般的无限小数无法精确地表示每个超实数,它们只能精确到无穷小单子的级别,为了对无穷小单子内部进行刻画,需要某种“超级”无限小数。

写这些东西对我来说还是太费时,本来业余时间就少,有那么多重要的事情要做,那么多东西要学,不可能把有限的业余时间都花在写作上面。另外,对这些“没用”问题的思考也让我错过了另外一些更重要更有趣的内容,现在是想办法弥补一下的时候了。

上帝是一位算术家还是一位几何学家?(下)

──复数的引入对柏拉图主义的支持

如果在数学的逻辑基础问题上过于追究,则数学的人为因素越来越大。这并不奇怪,如果问“为什么”问到终结,则答案只能归结为“第一推动”了。
然而,不要忘了,数学所描述的对象并不是人们凭空想象出来的,一个没有多少实用和理论价值而人为捏造的理论系统最终会被淘汰。数学的理论还是要为现实服务的,即使不能马上或直接地应用到现实中,至少也要间接地为那些服务于现实的理论服务,或至少在未来有可能成为指导现实的模型。数学中的人为因素与客观因素的关系颇像作家写的小说:作家写的小说大部分是虚构的,但作家不可能不着边际天马行空地编造,小说描述的至少应当折射出现实的影子,达到一种虚构的现实。即使是神话故事,也不应当不合情理。因此,作家写小说,经常会感觉到情节已经不受自己控制了,就好像小说里写的人物都是活的,写的事情都是正在实时地发生着一样。

对于数学,也有一种观点:虽然数学的概念并不独立地存在于现实中,却是存在于某个客观的“理念世界”中的。是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在,它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造,而是对这种客观存在的描述;数学新成果不是发明,而是发现。[1] 这就是数学柏拉图主义观点。之所以叫柏拉图主义,因为柏拉图提出过一个哲学观点,称为“理念论”,他认为世界由“理念世界”和“现象世界”所组成。理念的世界是真实的存在,永恒不变,而人类感官所接触到的这个现实的世界,只不过是理念世界的微弱的影子,它由现象所组成,而每种现象是因时空等因素而表现出暂时变动等特征。有一个著名的洞穴比喻来解释理念论:有一群囚犯在一个洞穴中,他们手脚都被捆绑,身体也无法转身,只能背对着洞口。他们面前有一堵白墙,他们身后燃烧着一堆火。在那面白墙上他们看到了自己以及身后到火堆之间事物的影子,由于他们看不到任何其他东西,这群囚犯会以为影子就是真实的东西。最后,一个人挣脱了枷锁,并且摸索出了洞口。他第一次看到了真实的事物。他返回洞穴并试图向其他人解释,那些影子其实只是虚幻的事物,并向他们指明光明的道路。但是对于那些囚犯来说,那个人似乎比他逃出去之前更加愚蠢,并向他宣称,除了墙上的影子之外,世界上没有其他东西了。柏拉图利用这个故事来告诉我们,“形式”其实就是那阳光照耀下的实物,而我们的感官世界所能感受到的不过是那白墙上的影子而已。我们的大自然比起鲜明的理型世界来说,是黑暗而单调的。不懂哲学的人能看到的只是那些影子,而哲学家则在真理的阳光下看到外部事物。[2]

这种观点听上去有点玄,但为了解释数学研究,尤其是涉及那些表面上看来离我们遥远的数学概念如无穷大的研究意义,以及人为创造的概念为何又不以人的意志为转移,数学为何又可以精确地用于实践,这种观点是不可忽视的。

下面举两个可以有力地支持数学柏拉图主义观点的例子,都是关于复数的:[3]
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七、无穷真的客观存在吗?——芝诺悖论

数学上对于无穷的大量研究,使我们不禁要问:无穷在客观世界真的存在吗?
曾经人们认为宇宙的尺寸是无穷大的,但是现代的科学家普遍认为,宇宙也是有界的。那么凭我们的直觉,宇宙中的物质也很有可能是有限的。没有直接证据可以证明无穷大和无穷多的存在性。
无穷还可能有第三存在的状态:无穷小。那么无穷小是否客观存在?我们的空间是否无限可分?

芝诺悖论表明,这是最值得怀疑的。如果我们的时空无限可分,那么会有下面的芝诺悖论出现:
一位飞毛腿名叫阿基里斯。有一天他和一只乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处,他们同时同向开跑。比赛开始时,乌龟在阿基里斯前方十米;当阿基里斯跑完这十米,乌龟向前跑了一米;当阿基里斯跑完这一米之后,乌龟又向前跑了0.1米,阿基里斯跑0.1米,乌龟向前跑0.01米,……如此下去,每当阿基里斯经过一段时间的追赶,跑到乌龟所在地的时候,乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤,因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。
我们把乌龟作为参照物,就可以得到这样一个表述:一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1,然后再从C点移动到AC1中点 C2,到C2之后又要移动到AC2中点C3,……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的,因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的,那就意味着P不能从A点移动到任何一点,因此P的运动是不可能的。
事实上,我们把这一列点的顺序倒过来,就得到芝诺的另一个悖论:运动不可能。因为P从A点出发要移动到B,那它首先要移到AB终点C1,要移动到 C1,又要首先移动到AC1中点C2,……这样,P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1,这个要求是无限的。因此,P不可能动起来。
可以看到,只要假定时空无限可分,就会根据推理得到一个与事实不相符合的结果。
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三、实数定义概要

  整数分数统称有理数,无限不循环小数称为无理数,有理数无理数统称实数,实数与数轴上的点是一一对应的。
中学课本中这么简单几句话,要想透彻地把这几句话解释清楚,却需要很多知识,中学生是没有机会和精力学习这些知识的,一个人要想把实数系统理解透彻,需要消耗大学里相当长的一段时间,而这些知识又对数学的应用和理论发展用处不大,因此一般的大学,即使是数学系的本科,也不会系统地教授这些东西,默认你已经承认实数的那些通常的性质了。
  我在大学里花了相当长的一段时间研究实数的这些基础理论,研究数学的公理化方法,研究公理集合论。大学本科毕业时是我自己选题,写了毕业论文“实数的定义与性质”总结前人在这方面的工作。而今,这些都已经逐渐远去,一些技术细节也基本上忘记了。更糟糕的是,自己的毕业论文竟然没有留住,丢失了,虽然记得大概思路,但那些处理的细节已经记不得了。不过好在技术的处理并不是那么难而且大多数结论都能在书上找到。
  今天也并不打算论述实数定义的细节,那需要的篇幅不是我能承受的,写那些东西对别人也没什么用,只是提供一个大体过程,还有一些我那时所看的书,如果哪位对这个东西特别感兴趣,你先做个预习,然后在你读大学并且很有时间的时候去找书吧。
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二、实数中循环小数意义的补充说明

从这以后的连载系列内容都来自本人在百度帖吧的帖子。原帖地址:
http://tieba.baidu.com/f?kz=676219118

设a=0.33...(循环),它表示数轴上的哪一个点?我们在数轴上取这样一个线段序列:
首先,因为0<=a<=1,取第一段线段A1B1为0和1之间的线段[0,1];
然后,将A1B1十等分,看a的第一位小数,为3,那么取第二段线段A2B2为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.3,0.4]
再将A2B2十等分,看a的第二位小数,仍为3,那么取第三段线段A3B3仍然为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.33,0.34]
......
依此类推,得到一个线段序列AnBn,其中的任何一条线段都包含着下一条线段,并且随着n的增大线段长度可以达到任意小,与零无限接近。根据几何上的一些公理和性质(阿基米德公理和直线的完备性公理,其实也是实数的性质),在数轴上存在唯一一个点被所有线段覆盖,即存在唯一一个点在所有线段上,那么,0.33... (循环)就理所当然地应该表示这个点。容易证明,1/3就在所有线段上,因此0.33...(循环)就表示1/3。(从直觉上你也可以想象,如果0.33...(循环)能够表示一个点,那么它应该大于任何一个有限小数0.3333...33,而小于任何一个有限小数 0.33...34,即被我们做出的所有线段夹在中间,现在,恰好只有一个1/3就夹在中间。那么0.33...(循环)当然就表示1/3了。)
对于一般的一个正的无限小数a0.a1a2a3...,取A1B1为[a0,a0+1],将A1B1十等分,取A2B2为 [a0.a1,a0.a1+0.1],...,那么a0.a1a2a3...表示的是在所有AnBn线段上的唯一的那个点。(这里所说在线段上也包括线段的端点)

注意,0.33... (循环)应该表示的是1/3那个点,即使我们不做AnBn这些线段,0.33...(循环)表示的点依然是存在在数轴上的。0.33...(循环)既不是表示这些线段的序列,也不是表示这些线段的左端点序列,它就表示这些线段的交集:1/3那个点。那个点如果我们用3进制小数表示,只需要表示为0.1就可以了,如果用4进制小数,则表示为0.111循环,因为每次用4等分点划分线段时,它总是落在第一和第二等分点之间。

再看0.99循环这个数,依照上面的方法作出线段序列,看哪一个点在线段序列的所有线段上?显然,就是1。因此1有两种小数表示形式:1和0.999循环。因此0.999循环=1,是小数表示法的定义决定的。

上面无限小数的意义与我们通常所做的除法有什么关系呢?其实这个应该你自己去思考。这里略微提示:当1/3除不尽的时候,我们总是把余数添加一个0,而添加这个0就相当于把余数扩大为原来的十倍,这样下一位的商是什么意思呢?和我们上面讨论的把A1B1十等分有什么关系呢?
在做除法的每一步都时候,你都是得到了An,也就是得到的是上面讨论的线段的左端点,总是无法在有限的步骤里完全等于1/3,因此有人就认为无限循环小数无法准确表示1/3,但是错了,你每一步得到的只是左端点,只是个有限小数,当然无法完全等于1/3,但是0.33... (循环)却与这些左端点无关,他表示的是夹在所有An和 Bn之间的那个点,那就是1/3。