所谓的范数，就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广。简单地讲就是从向量空间 $V$ 到数域 $\mathbf{F}$ 的一个函数 $|\cdot|$，满足如下条件：
1) $\forall v\in V,|v|\ge 0$，并且 $|v|=0$ 当且仅当 $v=0$。
2) $|av|=|a| |v|$
3) $|u+v|\le |u|+|v|$

在一个内积空间中，由内积表达式 $\sqrt{\langle v,v\rangle}$ 就可以定义出一个范数，这个范数称为由内积诱导的范数。

不是所有的范数都是由内积诱导出来的。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中，定义范数 $|(x,y)|=|x|+|y|$，它确实是范数但没有内积可以诱导出这个范数。因为，内积诱导的范数满足平行四边形法则：

$$|u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2$$

那么是不是一个范数只要满足平行四边形法则，它就必然是由某个内积诱导出来的呢？答案是肯定的。证明见下面。

那么平行四边形法则到底是什么东西？为什么有这么大的魔力，使它成为一个范数是否有内积背景的唯一门槛？

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