所谓的范数,就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广。简单地讲就是从向量空间 到数域
的一个函数
,满足如下条件:
1) ,并且
当且仅当
。
2)
3)
在一个内积空间中,由内积表达式 就可以定义出一个范数,这个范数称为由内积诱导的范数。
不是所有的范数都是由内积诱导出来的。例如,在 中,定义范数
,它确实是范数但没有内积可以诱导出这个范数。因为,内积诱导的范数满足平行四边形法则:
那么是不是一个范数只要满足平行四边形法则,它就必然是由某个内积诱导出来的呢?答案是肯定的。证明见下面。
那么平行四边形法则到底是什么东西?为什么有这么大的魔力,使它成为一个范数是否有内积背景的唯一门槛?