无限论题暂停公告

经过好几个月这个话题一直没有再更新,因为遇到了两个不太好过的坎儿。
引入无穷的概念对数学家们来说是习以为常的。但我觉得从数学哲学的角度还是有些疑问。无穷在数学中处于什么样的地位?是必不可少还是可以绕道而走?在一个原本有限的公理系统中人为地加入一些无穷的对象,并加入了关于无穷对象的公理之后,新的系统与原来的系统相比,客观性保持不变还是减少了?需要先对哥德尔定理和模型论有深入地了解才能思考这个问题。现在我还缺少这方面的背景知识,几次试探地继续写,自己都无法满意。
还有一个回避不了的问题是悖论。看清楚悖论产生的根源比知道如何解决悖论更重要(更准确地说,如果不理解它们是如何产生的,就无法理解它们是如何被解决的,充其量只能算是回避)。因此接下来的论题就是讨论为什么会产生这些悖论,它们到底是些什么东西。这方面的内容我觉得我看过的所有的书中说的都不清楚,我怀疑写这些书的人是否真正把这些悖论想清楚了,他们只是人云亦云。从罗素的论著中摘抄出只言片语,不求甚解地写到自己的书里了。我想真正把悖论看得清析一些,这方面我自己有一些想法,但不成熟。也不会轻易地写出来。

过了这两个坎儿,后面的内容就相对平坦了:计划要从非标准分析的角度重新认识无穷小和无穷大,讨论超实数的形态。虽然最初的非标准分析是从模型论中发展而来的,但后来出现了非标准分析的一些简易模型,这部分还是很好理解的。然后试探地在超实数系统下引入无限小数。因为有理数在超实数系统中并不稠密,也就是说无法找到一个有理数列去逼近一个非零的无穷小,所以一般的无限小数无法精确地表示每个超实数,它们只能精确到无穷小单子的级别,为了对无穷小单子内部进行刻画,需要某种“超级”无限小数。

写这些东西对我来说还是太费时,本来业余时间就少,有那么多重要的事情要做,那么多东西要学,不可能把有限的业余时间都花在写作上面。另外,对这些“没用”问题的思考也让我错过了另外一些更重要更有趣的内容,现在是想办法弥补一下的时候了。

四、和无限小数很类似的连分式和无穷层根号连环套

有的人认为,无限小数也是有最后一位的,只是最后一位是在无穷远处,我们看不到了。甚至认为0.33...的最后一位不是3。
这种想法让我想起了高中时的一段往事。
那时还没有学习极限, 就有这样的问题:求

\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots}}}

 (1)
还有

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}

 (2)
它们都是无限形式的式子,解决方法是列方程:对第一个式子,x=1/(1+x),对于第二个, x=\sqrt{1+x},每一个方程都有两个根,且都有一正一负,最后都把负的舍掉,以正值作为无限式的取值。
不过那时对老师的这种做法很有疑问:要说对于第二个式子,在实数中算术平方根总是正的,那么第一个式子为什么就一定是正的呢?如果它取负值,似乎也并没有什么矛盾。而且,简单地以第二个式子要取正值,就把负根舍掉,似乎比较牵强。万一两个都是正根呢?
能否出现两个正根的时候呢?故意找一个有两个正数根的二次方程,我也构造了一个类似的无穷形式:

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


这样列方程解出来的一个是2,一个是4,取那一个?把它们代入验证,都成立(那是当然的)。它到底是多少?这种式子不存在吗?为什么上面那个式子就合法存在,而这个就不行?
学了极限之后,我想到,这种无限延伸的式子应该就是一种极限。那么它是什么数列的极限呢?它们似乎是对某个数无穷次套根号或向上加无穷层分数线这个过程的一个最终结果了。它的发源地应该在无穷远的那一头,从无穷远的那一头,只有一个数的地方就是第一项,然后一次次地套上根号,一次一次地加上分数线,我们在无穷远的这头看到的只是最终的结果了,它的源头,它胎儿时期的形状已经看不见了。考虑

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


如果它胎儿时期是2,那么无论套多少次根号,总是2,如果胎儿时期是4,最后它也会是4。哦,跟初值有关!那么初值取其它值的时候这个式子又会是什么呢?可以证明,当初值取在[4/3,2)上时,经过有限次之后式子变得在实数中无意义;而当初值取大于2的任何值时,它最终是4,只有当初值为2时,它最终是2。(提示:可以在图像上看到这个迭代过程,在坐标系中画出f(x)=x和 g(x)=\sqrt{-8+6x}的图像,在坐标x0处,找到点(x0,g(x0)),从这一点平行于x轴做直线,与y=x相交于 (g(x0),g(x0)),再从这一点平行于y轴做直线,交g(x)图像于(g(x0),g(g(x0))),再向y=x做平行于x轴的直线...)
反过来思考上面的两个式子,不论初值取在哪一个正数,最后的结果都是一样的。而对于(1),初值取负数的时候是很有意思的。不妨自己分析一下。

上面的例子是否可以说明这样一个问题:对于一个无限的形式的表达式,如果单纯地认为它是一个数值,它可能是不确定的,而一旦我们从极限的角度分析,就会一下看到它的本质?

\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}


这样的,无穷远处的那个根号下的值已经无法影响到它的值了,我们可以放心大胆地说它的值就是(1+√5)/2,而对于

\sqrt{-8+6\sqrt{-8+6\sqrt{-8+\cdots}}}


我们只能说它不确定了。
类比于0.99...,最后那一位数是什么对它的值有任何影响吗?

二、实数中循环小数意义的补充说明

从这以后的连载系列内容都来自本人在百度帖吧的帖子。原帖地址:
http://tieba.baidu.com/f?kz=676219118

设a=0.33...(循环),它表示数轴上的哪一个点?我们在数轴上取这样一个线段序列:
首先,因为0<=a<=1,取第一段线段A1B1为0和1之间的线段[0,1];
然后,将A1B1十等分,看a的第一位小数,为3,那么取第二段线段A2B2为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.3,0.4]
再将A2B2十等分,看a的第二位小数,仍为3,那么取第三段线段A3B3仍然为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.33,0.34]
......
依此类推,得到一个线段序列AnBn,其中的任何一条线段都包含着下一条线段,并且随着n的增大线段长度可以达到任意小,与零无限接近。根据几何上的一些公理和性质(阿基米德公理和直线的完备性公理,其实也是实数的性质),在数轴上存在唯一一个点被所有线段覆盖,即存在唯一一个点在所有线段上,那么,0.33... (循环)就理所当然地应该表示这个点。容易证明,1/3就在所有线段上,因此0.33...(循环)就表示1/3。(从直觉上你也可以想象,如果0.33...(循环)能够表示一个点,那么它应该大于任何一个有限小数0.3333...33,而小于任何一个有限小数 0.33...34,即被我们做出的所有线段夹在中间,现在,恰好只有一个1/3就夹在中间。那么0.33...(循环)当然就表示1/3了。)
对于一般的一个正的无限小数a0.a1a2a3...,取A1B1为[a0,a0+1],将A1B1十等分,取A2B2为 [a0.a1,a0.a1+0.1],...,那么a0.a1a2a3...表示的是在所有AnBn线段上的唯一的那个点。(这里所说在线段上也包括线段的端点)

注意,0.33... (循环)应该表示的是1/3那个点,即使我们不做AnBn这些线段,0.33...(循环)表示的点依然是存在在数轴上的。0.33...(循环)既不是表示这些线段的序列,也不是表示这些线段的左端点序列,它就表示这些线段的交集:1/3那个点。那个点如果我们用3进制小数表示,只需要表示为0.1就可以了,如果用4进制小数,则表示为0.111循环,因为每次用4等分点划分线段时,它总是落在第一和第二等分点之间。

再看0.99循环这个数,依照上面的方法作出线段序列,看哪一个点在线段序列的所有线段上?显然,就是1。因此1有两种小数表示形式:1和0.999循环。因此0.999循环=1,是小数表示法的定义决定的。

上面无限小数的意义与我们通常所做的除法有什么关系呢?其实这个应该你自己去思考。这里略微提示:当1/3除不尽的时候,我们总是把余数添加一个0,而添加这个0就相当于把余数扩大为原来的十倍,这样下一位的商是什么意思呢?和我们上面讨论的把A1B1十等分有什么关系呢?
在做除法的每一步都时候,你都是得到了An,也就是得到的是上面讨论的线段的左端点,总是无法在有限的步骤里完全等于1/3,因此有人就认为无限循环小数无法准确表示1/3,但是错了,你每一步得到的只是左端点,只是个有限小数,当然无法完全等于1/3,但是0.33... (循环)却与这些左端点无关,他表示的是夹在所有An和 Bn之间的那个点,那就是1/3。

一、无限小数在实数中的意义

这是三年以前写的一篇博客文章,原题叫《给初中生们讲解无限小数、无理数,以及0.999…等于1的问题》。后来被转载到百度百科的“无限小数”词条。本来是有出处的,后来博客被关闭,出处也被删掉了。原文如下:

0.99...=1这个结果是数学上确定的东西,但通常的解释都是要用极限理论的,对于一些中学生和某些没有很好理解极限理论的大学生们来说,他们还是有很多疑问的。因此,有些人想用各种迂回的办法说服他们,但这些解释往往又是不彻底的,很难有说服力。
今天我来用初等几何的方法给一个最接近极限理论和实数理论的解释。只要学过初中的平面几何,就应该能看懂。但我要讲的内容不仅限于此。如果你只对0.999…等于1的问题感兴趣,可以只看第四部分。但我相信其它部分对你也会有帮助的。
Continue reading

0.99...循环是否等于1?(连载开始)

我发现,通过从不同角度对这个问题的探讨,可以把数学上对无穷的各种观点都串联起来。以这个问题为线索,可以写一大篇不错的数学科普文章。

本系列文章皆出自笔者以前的博客和在百度贴吧参与的讨论。由于时间有限,又三年左右没有碰过数学,文中难免有不当之处,敬请指正;有些话题未深入探讨,也属无奈;本人并非擅长文笔,有词语不通之处也望见谅。

本系列文章分两个大部分:
第一部分,论述这个问题在实数范围内是确定无疑的,其中又分两个小部分:第一小部分是用数轴讨论无限小数的意义,不涉及到实数定义之类,再补充对除法运算的论述,保证初中生能看懂。第二小部分略述实数定义,属于选读内容,对于没有高等数学基础的人,只要知道大概思路和大概过程就可以,对那些具体的数学概念和推导细节不用深究。
第二部分:理念中的无穷。基于第一部分的讨论,我们知道,在实数和极限定义的背景下,这是个确定无疑的命题,因此没有更多的讨论空间了。然而虽然第一部分包含一些极限的思想,也有无穷的观念在里面,但学过极限的人可以看到,在极限的定义中并没有涉及到真正的实无穷,第一部分也没有涉及到有关无穷的哲学问题:无穷真的客观存在吗?如果不是,数学讨论无穷的意义何在?实无穷有哪些特性是我们有限的世界中没有的?这部分还将讨论无穷的悖论问题。