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无限论题暂停公告

经过好几个月这个话题一直没有再更新,因为遇到了两个不太好过的坎儿。
引入无穷的概念对数学家们来说是习以为常的。但我觉得从数学哲学的角度还是有些疑问。无穷在数学中处于什么样的地位?是必不可少还是可以绕道而走?在一个原本有限的公理系统中人为地加入一些无穷的对象,并加入了关于无穷对象的公理之后,新的系统与原来的系统相比,客观性保持不变还是减少了?需要先对哥德尔定理和模型论有深入地了解才能思考这个问题。现在我还缺少这方面的背景知识,几次试探地继续写,自己都无法满意。
还有一个回避不了的问题是悖论。看清楚悖论产生的根源比知道如何解决悖论更重要(更准确地说,如果不理解它们是如何产生的,就无法理解它们是如何被解决的,充其量只能算是回避)。因此接下来的论题就是讨论为什么会产生这些悖论,它们到底是些什么东西。这方面的内容我觉得我看过的所有的书中说的都不清楚,我怀疑写这些书的人是否真正把这些悖论想清楚了,他们只是人云亦云。从罗素的论著中摘抄出只言片语,不求甚解地写到自己的书里了。我想真正把悖论看得清析一些,这方面我自己有一些想法,但不成熟。也不会轻易地写出来。

过了这两个坎儿,后面的内容就相对平坦了:计划要从非标准分析的角度重新认识无穷小和无穷大,讨论超实数的形态。虽然最初的非标准分析是从模型论中发展而来的,但后来出现了非标准分析的一些简易模型,这部分还是很好理解的。然后试探地在超实数系统下引入无限小数。因为有理数在超实数系统中并不稠密,也就是说无法找到一个有理数列去逼近一个非零的无穷小,所以一般的无限小数无法精确地表示每个超实数,它们只能精确到无穷小单子的级别,为了对无穷小单子内部进行刻画,需要某种“超级”无限小数。

写这些东西对我来说还是太费时,本来业余时间就少,有那么多重要的事情要做,那么多东西要学,不可能把有限的业余时间都花在写作上面。另外,对这些“没用”问题的思考也让我错过了另外一些更重要更有趣的内容,现在是想办法弥补一下的时候了。

六、0.00...1是个什么数?

某些人仍然根据有限小数的经验,认为,0.99...不等于1。他们认为,0.99...虽然是无限小数,但是有最后一位,就是在无穷远处的那一位,因此0.9循环可以写成0.99...9,显然它与1差了0.00...1,小数点后无穷个0,最后跟了个1。
这种关于无限小数的想法当然是错误的。回忆一下在实数系中引进无限循环小数的目的和依据:有理数在实数中稠密(即处处都有,任何一个小区间里都有有理数), \left\{\frac{m}{10^n}|m,n\in\mathbb{Z}\right\}又在有理数中稠密,因此它在实数集中也稠密。因此我们可以用一个m/10^n形式有理数的数列去逼近任何的实数。因此我们的无限小数作为{m /10^n}数列的完成式,在小数点后面跟着的就是个由0-9数字组成的数列,它的每一项都跟自然数有一一对应的关系,而自然数根本就没有最后一项。可见,0.99...是无法写成0.99...9的。

那么,0.00...1是个什么数?
首先指出,它既不是有限小数,也不是我们平常所见的无限小数,因此它根本不是一个实数。
它不是个有限小数,这是显然的,因为小数点后面有无穷个0。那它为什么不是无限小数呢?前面已经说过,任何一个无限小数,后面的小数位按从左到右的顺序与自然数一一对应,任何一个小数位都对应一个有限的自然数。反观0.0...1,最后的那个1,不对应任何有限的自然数,前面的无限多个0就已经把所有自然数都对应完了。从小数运算规律来看的话,如果要把0.0...1与0.99...相加,那么0.99...中所有的9都与0.0...1中的0对应相加,0.0...1最后的那个1要加在哪一位呢?如果按无限小数对应实数的规则把它放在实数轴上,它要放在哪里呢?它非负,又小于所有形如 1/10^n的数,这样的数只有0。因此前面的无限多个0就已经决定了它只能是0了,后面的1对它的值来讲没有意义,没有存在的必要。

虽然在实数的范围内它是没有必要存在的表达式,但我们依然有必要从形式上讨论它,因为现在的数系发展早已经超越了实数,从一维的实数扩展到高维的复数、四元数等;从标准的实数扩展到了非标准的超实数、广义实数等。所以数的范围在扩大,概念并不唯一。在其它数系中是否可能有它的身影呢?我们最好先看看这个数的特征。
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五、10X=9+X成立吗?

这是第二部分的开始,在这一部分里将接触到完完全全的无穷观念。无穷,因为充满神秘又扑朔迷离,所以它也就吸引了历史上大多数智慧头脑的兴趣,也引起了很多人的困惑和排斥。
下面进入正题:若X=0.99...,那么10X=9+X真的成立吗?

通常一些书上证明0.99...=1时是给出的这样的方式:
设0.99...=X,那么根据小数乘法的法则,一个小数乘以10小数点要向后移动一位,则
10X=9.99... (1)
但是因为0.999...为循环的,它有无穷多个9,小数点向后移动一位之后还是有无穷多个9,和以前一样都是无穷多个9在循环出现,因此应有
9.99...=9+0.99...=9+X (2)
故10X=9+X,得X=1.

有些人根据有限小数的经验,这样的反驳:虽然(1)式右边也是无限个9,但它是10*0.99...得到的,因为在0.99...基础上小数点向右移动一位才得到9.99...,所以(1)中的无限小数位数应为无穷大-1,比无穷大还少一个。虽然都是无穷大,但两个无穷大不一样。
如果你这样想,那么下面的论证你能解释吗?
1/3=0.3333...
10*0.3333...=3.333...
10*0.3333...=10/3=3+1/3=3.3333...
假设1/3的无限小数表示中循环的3的个数为k,那么在第二个式子中,用“小数点右移一位”得到3.333...的循环节3的出现次数为k-1,而在第三个式子中,把0.3333...转化为1/3,10*1/3=3+1/3,这个1/3,按前面的假设有循环3的为数为k,那么3+1/3小数点后也应该有k个3。
为什么同样的10*0.3333...,采用不同的计算方法得出循环节的个数不一样呢?难道跟计算途径有关吗?
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三、实数定义概要

  整数分数统称有理数,无限不循环小数称为无理数,有理数无理数统称实数,实数与数轴上的点是一一对应的。
中学课本中这么简单几句话,要想透彻地把这几句话解释清楚,却需要很多知识,中学生是没有机会和精力学习这些知识的,一个人要想把实数系统理解透彻,需要消耗大学里相当长的一段时间,而这些知识又对数学的应用和理论发展用处不大,因此一般的大学,即使是数学系的本科,也不会系统地教授这些东西,默认你已经承认实数的那些通常的性质了。
  我在大学里花了相当长的一段时间研究实数的这些基础理论,研究数学的公理化方法,研究公理集合论。大学本科毕业时是我自己选题,写了毕业论文“实数的定义与性质”总结前人在这方面的工作。而今,这些都已经逐渐远去,一些技术细节也基本上忘记了。更糟糕的是,自己的毕业论文竟然没有留住,丢失了,虽然记得大概思路,但那些处理的细节已经记不得了。不过好在技术的处理并不是那么难而且大多数结论都能在书上找到。
  今天也并不打算论述实数定义的细节,那需要的篇幅不是我能承受的,写那些东西对别人也没什么用,只是提供一个大体过程,还有一些我那时所看的书,如果哪位对这个东西特别感兴趣,你先做个预习,然后在你读大学并且很有时间的时候去找书吧。
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二、实数中循环小数意义的补充说明

从这以后的连载系列内容都来自本人在百度帖吧的帖子。原帖地址:
http://tieba.baidu.com/f?kz=676219118

设a=0.33...(循环),它表示数轴上的哪一个点?我们在数轴上取这样一个线段序列:
首先,因为0<=a<=1,取第一段线段A1B1为0和1之间的线段[0,1];
然后,将A1B1十等分,看a的第一位小数,为3,那么取第二段线段A2B2为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.3,0.4]
再将A2B2十等分,看a的第二位小数,仍为3,那么取第三段线段A3B3仍然为第三等分点和第四等分点之间的线段即[0.33,0.34]
......
依此类推,得到一个线段序列AnBn,其中的任何一条线段都包含着下一条线段,并且随着n的增大线段长度可以达到任意小,与零无限接近。根据几何上的一些公理和性质(阿基米德公理和直线的完备性公理,其实也是实数的性质),在数轴上存在唯一一个点被所有线段覆盖,即存在唯一一个点在所有线段上,那么,0.33... (循环)就理所当然地应该表示这个点。容易证明,1/3就在所有线段上,因此0.33...(循环)就表示1/3。(从直觉上你也可以想象,如果0.33...(循环)能够表示一个点,那么它应该大于任何一个有限小数0.3333...33,而小于任何一个有限小数 0.33...34,即被我们做出的所有线段夹在中间,现在,恰好只有一个1/3就夹在中间。那么0.33...(循环)当然就表示1/3了。)
对于一般的一个正的无限小数a0.a1a2a3...,取A1B1为[a0,a0+1],将A1B1十等分,取A2B2为 [a0.a1,a0.a1+0.1],...,那么a0.a1a2a3...表示的是在所有AnBn线段上的唯一的那个点。(这里所说在线段上也包括线段的端点)

注意,0.33... (循环)应该表示的是1/3那个点,即使我们不做AnBn这些线段,0.33...(循环)表示的点依然是存在在数轴上的。0.33...(循环)既不是表示这些线段的序列,也不是表示这些线段的左端点序列,它就表示这些线段的交集:1/3那个点。那个点如果我们用3进制小数表示,只需要表示为0.1就可以了,如果用4进制小数,则表示为0.111循环,因为每次用4等分点划分线段时,它总是落在第一和第二等分点之间。

再看0.99循环这个数,依照上面的方法作出线段序列,看哪一个点在线段序列的所有线段上?显然,就是1。因此1有两种小数表示形式:1和0.999循环。因此0.999循环=1,是小数表示法的定义决定的。

上面无限小数的意义与我们通常所做的除法有什么关系呢?其实这个应该你自己去思考。这里略微提示:当1/3除不尽的时候,我们总是把余数添加一个0,而添加这个0就相当于把余数扩大为原来的十倍,这样下一位的商是什么意思呢?和我们上面讨论的把A1B1十等分有什么关系呢?
在做除法的每一步都时候,你都是得到了An,也就是得到的是上面讨论的线段的左端点,总是无法在有限的步骤里完全等于1/3,因此有人就认为无限循环小数无法准确表示1/3,但是错了,你每一步得到的只是左端点,只是个有限小数,当然无法完全等于1/3,但是0.33... (循环)却与这些左端点无关,他表示的是夹在所有An和 Bn之间的那个点,那就是1/3。