为了建立实数轴上的 Lebesgue 测度，首先需要找一个适当的集合环，在上面建立起满足可数可加性的测度。因此，通常是在环

$$\mathscr R_0=\left\{\bigcup_{i=1}^n(a_i,b_i]\,|\,a_i,b_i\in\mathbf R,i=1,2,\dots,n \right\}$$

上定义集合函数

$$m(E)=\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)$$

其中区间 $(a_i,b_i]$ 为 E 的初等分解。

《实变函数论》中在证明了这个定义的合理性（即 E 的函数值与 E 的初等分解方式无关）之后，作者通过134页（2009清华版124页）引理2.3.2 证明了这个集合函数的一系列性质，包括有限可加性，单调性和有限次可加性，最后证明这个集合函数是环 $\mathscr R_0$ 上的测度，即满足空集的函数值为0；此函数非负，且具有可数可加性。

应该说，引理2.3.2 论证的内容是十分直观的，因为环 $\mathscr R_0$ 上的元素都十分简单，只是有限个左开右闭区间的并。而引理2.3.2的核心内容无非是说，可数多个互不相交的左开右闭区间的总长度，是这些区间长度的和。比如，我们高中理解等比数列和

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1$$

的时候，就是把单位线段无限地二等分，然后看到单位线段的长度等于这些小线段的总长度，这是多么直观的事情。但引理2.3.2的建立过程却非常曲折，为了证明所定义的函数是测度，引理2.3.2被分解成了四个部分，最后一个部分还用到了 Heine-Borel 有限覆盖定理，而这个定理应用的也是极不自然，因为，这里并不是一些开集覆盖住了一个有界闭集，为了应用有限覆盖定理，还必须得给每个区间做一些小手术，这是不容易想得到的。

有没有可能就像高中证明那个无限二分线段长度之和为1那样直接证明这个命题？就是通过有限可加性取极限，就能直接得到可数可加性？用通常的分析思想会有些困难，因为，这里讨论的是可数无限分割，而这种分割的结构可以相当复杂。比如，就在一个简单的连续区间里，这种分划点的极限点就可以有很多甚至无限多，而这些极限点又可能有极限点的极限点，比如上面那个分划的每一个小区间 $(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n+1}}]$ 中又可以有可数多个小区间，因此想用取极限的方式去证明一般的命题，有可能需要考虑极限的极限，而且嵌套无穷多次。

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