怎样用一般幂函数的积分公式理解y=1/x的积分

前一篇文章用了做定积分最原始的方法——分割做和取极限的方法重新理解了y=1/x积分中自然对数的来源。本篇文章回答上一篇中提出的问题:怎样把y=1/x的积分嵌入到常规幂函数积分公式\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C中。

如果你试图从公式\int x^a\mathrm dx=x^{a+1}/(a+1)+C推导y=1/x的积分,多半会失败,因为把a=-1带进去,等式右边的分母为零,分子在x\neq 0时变成了1,整个式子变得没有意义。实际上y=1/x是幂函数里唯一一个另类,它的积分非但不能简单地从普通幂函数积分公式中得出,其结果反而超越了幂函数的范围。怎样理解这样的不和谐?昨天因为写前一篇文章的缘故,头脑中闪过另外一个念头,最后竟然成功地解释通了这个困扰多年的问题。

这个解释使用幂函数求导公式

(x^a)'=ax^{a-1},\> x>0


以后的推导中我们都假定x>0,不加赘述。为了使等式右边宝贵的x^{a-1}不被取0值的a破坏,我们把a移到等式左边:

\frac{(x^a)'}{a}=x^{a-1}


接下来注意,当a=0时,等式右边就是我们想要的x^{-1},但等式左边变成了0/0。这时自然想到用极限的过程代替直接取值,即令a\to 0,看看等式左边趋于什么极限?这时a就被理解成一个变量了,我们还是用字母y代替a比较好,同时,这里的导数也变成了偏导数:

\frac{\partial _x x^y}{y}=x^{y-1}


变一下形式理解等式左边:

\frac{\partial_x x^y-\partial_x x^0}{y}=x^{y-1}


y\to 0,得到

\left. \partial_y(\partial_x x^y)\right |_{y=0}=x^{-1}


如果两个偏导符号可以换序,那么我们就能够得到

\partial_x(\left. \partial_y x^y\right|_{y=0})=x^{-1}


这样等式左边括号里面的函数就是我们要求的函数。括号里面的函数是什么呢?\partial_y x^y这是个指数函数的求导,\partial_y x^y=\partial_y e^{y\ln x} =x^y\ln x,所以括号里的函数正是\left. \partial_y x^y\right|_{y=0}=\ln x,于是有

(\ln x)'=\frac{1}{x}


那么上面的两个偏导符号是否可以换序呢?从多元变量分析中得知,当两个二阶偏导数之一在点(x,0)的某个邻域内存在且连续时,两个二阶偏导可以换序。那么计算其中一个二阶偏导数得到(注意:这里只能考察这个二阶偏导,因为另一个二阶偏导在计算的过程中应用了对数函数的导数,这在此时是不合理的。)

\partial_y(\partial_x x^y)=x^{y-1}+yx^{y-1}\ln x


容易知道它在(x,0)附近都是连续的,这样就保证了这种做法的合理性。

这种方法表面上是兜了一大圈,但它也提供给我们另外的信息:y=1/x的积分其实没有那么特殊,它是普通幂函数积分公式的一个极限结果。

用定积分的定义计算双曲线下方图形的面积

这篇文章中的内容是逛百度贴吧时的一个意外收获,贴子地址为

http://tieba.baidu.com/p/3475129628

利用微积分的知识可知,反比例函数 y=1/x 的不定积分是 \int \frac{1}{x}\mathrm d x=\ln x+C,由此得出,贴子中出现的阴影部分的面积要用对数表示,设A的纵坐标和  B的横坐标分别是yx,那么这个面积是1+\ln x+\ln y。由此也可以得出,当xy都趋于无穷大时,面积的表达式也趋于无穷大,所以双曲线与坐标轴之间的面积为无穷大。

很多人在学习数学的时候仅仅满足于知道一个结论,或者满足于弄懂书上给的证明,就以上提出的面积问题,通过牛顿-莱布尼茨公式求面积的方法自然是非常普适的方法,任何人也不会怀疑由它得出的结论。但是,从我一开始初学微积分的时候就对这个结论充满好奇,总是在想,如此简单的反比例函数怎么和对数函数联系在一起了呢?反比例函数仅比多项式函数稍微复杂了一点,为什么它的积分是个超越函数?而且,这是幂函数里唯一的一个“特殊分子”:其他的幂函数的积分都还差不多是幂函数,只有y=1/x这个怪物。

牛顿-莱布尼茨公式是一种解释,但这种解释很难让人有切实的体会。受上面那篇贴子中问题的启示,我找到了另外一种更直观、更初等的计算这个面积的方法,可以让人在图中切切实实地“看到”一个对数函数出现的过程。需要用到的知识:定积分计算面积的思想方法(分割、做和、取极限),以及一个有关e的极限:\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e。我将以问题的形式启发读者自己去完成这个计算过程。

首先,解决贴子中的问题:不用微积分的知识,只用初等方法,证明y=1/x下方图形的面积是无穷大。

1) 在双曲线上任意一点向两坐标轴做垂线,证明这两条垂线与坐标轴形成的矩形的面积与点的位置无关,这个面积是多少?
2) 用上述特性在双曲线与坐标轴之间做出无穷多个互不重叠的矩形,并且每个矩形的面积不小于一个定值,比如0.9。(提示:先做出一个面积为1的正方形,再做出一个 1)中所描述的矩形,二者重叠部分的面积有什么特点?)

然后,计算双曲线下方[1,t]之间曲边梯形的面积:
3) 将 2) 中的矩形面积不断减小,比如,让所有矩形的面积都等于\epsilon(那个正方形除外),这些矩形的宽度就会不断减小,[1,t]之间的曲边梯形就会逐渐被一些面积相等的矩形所铺满。计算[1,t]之间矩形的个数,并用\epsilon表示。
4)计算这些矩形的总面积,并计算当\epsilon\to 0时的极限。证明这些小矩形的宽度随着\epsilon\to 0而趋于零。根据反比例函数在[1,t]上的可积性,这些矩形总面积的极限就是曲边梯形的面积。

至此,你应该看到对数和e分别是在哪一个步骤里出现了。下面是一个额外的问题:
5)为了比较y=1/xy=1/x^2的差别,把这套策略改造一下应用到函数y=1/x^2上,并解释为什么对数函数没有出现在y=1/x^2的下方。

指数函数 exp(x) 导数的直接求法

在我读高中的时候,数学课程里是没有微积分的,当时自学微积分,用的是一种很简明的数学手册,里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候,怎么也想不明白这个  y=e^x 的导数  y'=e^x 是怎么求出来的。

在当时那个信息闭塞的时代,我没有办法直接找到问题的答案,所有的证明都得依靠自己努力思考,才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全,这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等,都是通过自己的思考来做出的所谓的"证明",当然都是不严格的,但大多数只缺少其中的某个环节罢了,比如  \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots,当时想到了两边同时求导,只是对两个重要的环节苦思不解:幂级数逐项积分的合理性和  x=1 时怎么证明右边还等于左边。

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