七、无穷真的客观存在吗?——芝诺悖论

数学上对于无穷的大量研究,使我们不禁要问:无穷在客观世界真的存在吗?
曾经人们认为宇宙的尺寸是无穷大的,但是现代的科学家普遍认为,宇宙也是有界的。那么凭我们的直觉,宇宙中的物质也很有可能是有限的。没有直接证据可以证明无穷大和无穷多的存在性。
无穷还可能有第三存在的状态:无穷小。那么无穷小是否客观存在?我们的空间是否无限可分?

芝诺悖论表明,这是最值得怀疑的。如果我们的时空无限可分,那么会有下面的芝诺悖论出现:
一位飞毛腿名叫阿基里斯。有一天他和一只乌龟赛跑,阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处,他们同时同向开跑。比赛开始时,乌龟在阿基里斯前方十米;当阿基里斯跑完这十米,乌龟向前跑了一米;当阿基里斯跑完这一米之后,乌龟又向前跑了0.1米,阿基里斯跑0.1米,乌龟向前跑0.01米,……如此下去,每当阿基里斯经过一段时间的追赶,跑到乌龟所在地的时候,乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤,因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。
我们把乌龟作为参照物,就可以得到这样一个表述:一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1,然后再从C点移动到AC1中点 C2,到C2之后又要移动到AC2中点C3,……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的,因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的,那就意味着P不能从A点移动到任何一点,因此P的运动是不可能的。
事实上,我们把这一列点的顺序倒过来,就得到芝诺的另一个悖论:运动不可能。因为P从A点出发要移动到B,那它首先要移到AB终点C1,要移动到 C1,又要首先移动到AC1中点C2,……这样,P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1,这个要求是无限的。因此,P不可能动起来。
可以看到,只要假定时空无限可分,就会根据推理得到一个与事实不相符合的结果。
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三年前写的有关芝诺悖论的文章

  这篇关于芝诺悖论的文章分两个部分,前一部分指出通常的极限理论并没能完整解决芝诺悖论,是三年前刚毕业时写的;后一部分分析芝诺悖论几种可能的解决途径,是第二年五一时写的。因为当时对非标准分析完全不了解,只是道听途说地把别人的描述照搬过来,有很多谬误。
  因为在《无限循环小数0.99...是否等于1》系列文章中,在讨论数学无限观的时候还要再次分析芝诺悖论和无穷小分析,所以这个就不归到连载里了。
  全文如下:

芝诺悖论漫谈(上)

  我在初中学习反比例函数的时侯,对函数图像和X轴“无限接近却永无交点”这件事很是不解。两个物体,就拿手中的两支笔为例,既然在相触之前可以“无限地接近”,那么这个接近的过程就应该是“永远无法完成的”,但它们最终还是碰到了一起了。它们是如何从“无限接近”的状态一下子就碰到一起了?
  我想一定有很多人有过我这样的困惑。然而我那时认为这也只是胡思乱想罢了,所以当时把它忽略了。
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