平行四边形法则与勾股定理--内积与范数

所谓的范数,就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广。简单地讲就是从向量空间  V 到数域  \mathbf{F} 的一个函数  |\cdot|,满足如下条件:
1)  \forall v\in V,|v|\ge 0,并且  |v|=0 当且仅当  v=0
2)  |av|=|a| |v|
3)  |u+v|\le |u|+|v|

在一个内积空间中,由内积表达式  \sqrt{\langle v,v\rangle} 就可以定义出一个范数,这个范数称为由内积诱导的范数。

不是所有的范数都是由内积诱导出来的。例如,在  \mathbb{R}^2 中,定义范数  |(x,y)|=|x|+|y|,它确实是范数但没有内积可以诱导出这个范数。因为,内积诱导的范数满足平行四边形法则:

 |u+v|^2+|u-v|^2=2|u|^2+2|v|^2

即平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和。而上面举的例子显然不满足这个特性。

那么是不是一个范数只要满足平行四边形法则,它就必然是由某个内积诱导出来的呢?答案是肯定的。证明见下面。

那么平行四边形法则到底是什么东西?为什么有这么大的魔力,使它成为一个范数是否有内积背景的唯一门槛?

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