本篇有些内容是孟岩《理解矩阵（三）》中观点的严密化与深化。

数域 $\mathbf{F}$ 上的两个向量空间 $U$ 到 $V$ 的一个映射 $\varphi$，若保持加法和数量乘法，即满足
$\varphi(u_1+u_2)=\varphi(u_1)+\varphi(u_2)$
$\varphi(ku)=k\varphi(u)$
则称 $\varphi$ 为线性映射。

矩阵及矩阵的乘法与线性映射有十分重大的联系。为了看清这一点，我们采取以下步骤：

一、从一维空间谈起

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