在李贤平《概率论基础》第三版，第88页起，讨论了直线上两种情况的随机游动：无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中，质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q，那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率：
当 $p=q=\frac{1}{2}$ 时，为

$$\frac{b}{a+b}$$

当 $p\not=q$ 时，为

$$\frac{(\frac{q}{p})^a-(\frac{q}{p})^{a+b}}{1-(\frac{q}{p})^{a+b}}$$

那么，还剩下一种情况没有讨论，就是只在 0 点处放置吸收壁，在另一端无限制，然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。

一种可能的思路是，在上面两端吸收壁的结果中，令 $b \to +\infty$，从而得到以下结果：
当 $p=q=\frac{1}{2}$ 时，被吸收的概率为1；当 $q>p$ 时，结果也是1；当 $q<p$ 时，结果为 $(\frac{q}{p})^a$。 但是，这种方法可能引起我们的担心，因为，我们求得两端吸壁的结果时，所列差分方程的的解依赖于 0 和 a+b 处给出的初值，而现在，b被无穷大代替，而无穷大又不是个具体的数，你不能说，质点在无穷大处怎样。 可以如下解释这个疑问：首先，将吸壁由 b 点移动到 b+1，则质点若被 b+1 处吸壁吸收，必首先经过 b 点，也就是质点被b+1 处吸收，这个事件蕴含质点被 b 吸收，那么它的概率就应该变小，从而质点被 0 点吸收的概率就是增大的。当只有0点有吸壁时，质点被0点吸收的概率就应该大于所有两端有吸壁的情况，因此是上面算式的极限情况。 这样说还是有些牵强。如果我们借鉴书上的处理方式，我们也可以列出差分方程来： 记 $p_n$ 为质点初始位置为 n 时，其被 0 处吸壁吸住的概率。则显然 $p_0=1$。 如果质点在 n+1 处，那么它要经过两步才能被吸收：首先要经过一系列游走到达 n，由于另一端一直到无穷远处都无障碍，这个过程和它从 1 点到达 0 点而被吸收的过程没什么两样，因此它发生的概率为 $p_1$；之后要从 n 点到达 0 点被吸收，它的概率为 $p_n$。因此，有

$$p_{n+1}=p_1p_n$$

故

$$p_n={p_1}^n$$

接下来求 $p_1$。注意到书上列的差分方程

$$p_n=pp_{n+1}+qp_{n-1}$$

在这里依然有效，将上面 $p_n$ 代入，得到

$$p_1=p{p_1}^2+q$$

求得 $p_1=1$ 或 $p_1=\frac{q}{p}$。 当 $p=q=\frac{1}{2}$ 时，$p_n=1$；当 $q>p$ 时，由于概率不可能大于1，故同样有 $p_n=1$；当 $q<p$ 时，结果为 $p_n=(\frac{q}{p})^n$。 这个结果与上面取极限的结果一致。 对应于赌徒输光理论，如果对方有用不完的赌注，则当你的赌技没有对方高，或者你们两人旗鼓相当的时候，你的赌注必定全输光；而即使你的赌技比对方高，你仍有一定的几率输光赌注。但是，你也有机会赢得任意多的钱，只要你有足够的本。