在李贤平《概率论基础》第三版,第88页起,讨论了直线上两种情况的随机游动:无限制随机游动和两端带有吸收壁的随机游动。在 0 和 a+b 处带有吸收壁的随机游动中,质点每次向正或负方向移动的概率分别为 p 和 q,那么初始位置在 a 点的质点最终被 0 处吸收壁吸住的概率:
当 时,为
当

那么,还剩下一种情况没有讨论,就是只在 0 点处放置吸收壁,在另一端无限制,然后讨论质点被吸收壁吸住的概率。
一种可能的思路是,在上面两端吸收壁的结果中,令 ,从而得到以下结果:
当 时,被吸收的概率为1;当
时,结果也是1;当
时,结果为
。
但是,这种方法可能引起我们的担心,因为,我们求得两端吸壁的结果时,所列差分方程的的解依赖于 0 和 a+b 处给出的初值,而现在,b被无穷大代替,而无穷大又不是个具体的数,你不能说,质点在无穷大处怎样。
可以如下解释这个疑问:首先,将吸壁由 b 点移动到 b+1,则质点若被 b+1 处吸壁吸收,必首先经过 b 点,也就是质点被b+1 处吸收,这个事件蕴含质点被 b 吸收,那么它的概率就应该变小,从而质点被 0 点吸收的概率就是增大的。当只有0点有吸壁时,质点被0点吸收的概率就应该大于所有两端有吸壁的情况,因此是上面算式的极限情况。
这样说还是有些牵强。如果我们借鉴书上的处理方式,我们也可以列出差分方程来:
记
为质点初始位置为 n 时,其被 0 处吸壁吸住的概率。则显然
。
如果质点在 n+1 处,那么它要经过两步才能被吸收:首先要经过一系列游走到达 n,由于另一端一直到无穷远处都无障碍,这个过程和它从 1 点到达 0 点而被吸收的过程没什么两样,因此它发生的概率为
;之后要从 n 点到达 0 点被吸收,它的概率为
。因此,有









