指数函数 exp(x) 导数的直接求法

在我读高中的时候,数学课程里是没有微积分的,当时自学微积分,用的是一种很简明的数学手册,里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候,怎么也想不明白这个  y=e^x 的导数  y'=e^x 是怎么求出来的。

在当时那个信息闭塞的时代,我没有办法直接找到问题的答案,所有的证明都得依靠自己努力思考,才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全,这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等,都是通过自己的思考来做出的所谓的"证明",当然都是不严格的,但大多数只缺少其中的某个环节罢了,比如  \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots,当时想到了两边同时求导,只是对两个重要的环节苦思不解:幂级数逐项积分的合理性和  x=1 时怎么证明右边还等于左边。

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