向量外积与行列式的本质关系

在三维空间中,两个向量a和b的外积a×b定义为这样的一个向量:
1) |a×b|=|a||b|sin<a,b> 其中sin<a,b>表示a和b两向量夹角的正弦。
2) 若|a×b|≠0,那么a×b的方向垂直于a和b所在平面并且使a,b,c满足右手螺旋定则。

设i,j,k是三维空间中成右手定则关系的标准正交基底,a和b在这组基底下的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3),那么a×b可以用行列式形式地表示为

这个公式的由来,在一般的教材中,是先推导出外积的几个重要性质:
1) a×b = -b×a
2) (a+b)×c = a×c+b×c
3) a×(b+c) = a×b+a×c
4) a×(kb)=(ka)×b=k(a×b)
5) i×j=k,j×k=i,k×i=j
然后,就可以利用这些性质对以下式子进行展开:
 \displaystyle \textbf{a}\times \textbf{b}=(a_1i+a_2j+a_3k)\times (b_1i+b_2j+b_3k)
最后化为上面的行列式表示。

但是,为什么外积可以如此规整地表示为一个行列式?难道只是巧合吗?一定有某些内在的原因。


 \displaystyle \textbf{c}=( \begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix})

首先,注意到 c 的三个分量是那个三阶行列式中的三个子式,利用行列式展开法则,我们可以很容易地证明c垂直于a和b:
 \begin{aligned}\textbf{c}\cdot\textbf{a}&=a_1\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ b_1&b_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ a_1&a_2  &a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\\ &=0\end{aligned}

 \begin{aligned}\textbf{c}\cdot\textbf{b}&=b_1\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\end{vmatrix}-b_2\begin{vmatrix}a_1&a_3\\ b_1&b_3\end{vmatrix}+b_3\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} b_1&b_2&b_3\\ a_1&a_2  &a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\\ &=0\end{aligned}

那么,为了证明c就是a×b,我们还需证明 |c|=|a||b|sin<a,b> ,以及a,b,c满足右手螺旋定则。

为了证明三个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3)满足右手螺旋定则,只需验证行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的值是非负的。为此,我们将c的坐标代入,并把此行列式按c的那一行展开,得到行列式的值等于 |c| ² ,因此它确实是非负的。

下面证明|c|=|a||b|sin<a,b> 。考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| c1 c2 c3 |
的几何意义,知道它是a,b,c三个向量组成的平行六面体的体积,前面我们已经知道它的数值等于 |c| ² 。又因为c垂直于a和b,那么下面的式子是成立的:
|c| ² =|a| |b| sin<a,b> |c| (因为体积等于底面积乘以高)
当c≠0时,我们直接可以得到 |c| =|a| |b| sin<a,b>。
当c=0时,我们任意取一个三维向量d=(d1,d2,d3),考虑行列式
| a1 a2 a3 |
| b1 b2 b3 |
| d1 d2 d3 |
因为它总是0,即不论d是什么向量,a,b,d总是线性相关。我们可以断定a,b线性相关,从而|a| |b| sin<a,b>=0,同样有|c| =|a| |b| sin<a,b>。

这样,没有用到外积的那些难以推导的性质,直接用行列式的性质,我们就证明了上面的外积表达式,而且这个证明更能揭示它们之间的本质联系。

因为有这样的本质联系,我们可以把三维空间中两个向量的外积推广到n维空间中的n-1个向量的情形。但是需要注意的是向量的顺序与定向的问题:如果规定
a1,a2, ...,an-1,a1×a2×...an-1取正向,那么必须在表示外积的行列式中把基底那一行写在最下面,然后按照基底那一行展开成各个分量。

在初级线性代数中,有几个概念之间有密切联系,这些概念是:
1)行列式,2)3个向量张成多面体的有向体积,3)2个向量的外积,4)3个向量的混合积
其实1,2,4直接相等,证明的途径多种多样,这里列出了一种,与一般的教科书稍有不同,即先承认1)等于2),再由此推出3)的表达式,最后推得4)等于1)。
其实承认1)等于2)之后,4)等于1)是很自然的(根据外积和混合积的定义),然后用类似上文的方法也可以推出3)的表达式。
如果开始像一般的线性代数书那样推导3)的表达式,那么4)等于1)就是显然的,从而可以证明1)等于2)。
这些内容都可以向高维空间推广,这里就不赘述了。

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