Linear Algebra Done Right第六章注记和部分习题

注记部分:

1 有关”毕达哥拉斯”定理的内积证明

用向量计算的方法为什么能够证明毕达哥拉斯定理?它背后的原理和实质是什么?这部分内容见文章《用向量的内积证明勾股定理–体会代数的威力》

2 平行四边形法则与毕达哥拉斯定理–内积与范数

泛函分析中有一条著名定理,在一个赋范空间中只要一个范数满足平行四边形法则,那么它就是由某个内积诱导出来的,即可以找到一个内积使得每个向量的范数等于这个向量和自己内积的算术平方根。
那么平行四边形法则的实质又是什么?它和毕达哥拉斯定理又有什么关系?这部分内容见文章《平行四边形法则与勾股定理–内积与范数》

3 正交补空间性质 \( V=U\oplus U^\perp\) 的另一种推导

利用”有限维空间的任何一个非平凡的子空间都有非平凡的正交补空间”可以推导出这个性质。因为
假设 \( V\not=U+U^\perp\),那么因为 \( U+U^\perp\) 有正交补空间不等于 \( \{0\}\),取 \( v\in (U+U^\perp)^\perp, v\not=0\),那么 \( v\) 就垂直于 \( U\) 中的任何向量,根据正交补的定义,应该有 \( v\in U^\perp\),但是 \( v\) 还垂直于 \( U^\perp\),因此只能 \( v=0\),矛盾。

不过,相比于书上的证明,这个证明有个缺点:只适用于 \( U\) 和 \( U^\perp\) 都是有限维的情形,在后面讨论的 \( \sin x\) 的逼近问题中这个证明不适用。

4 定理6.45的矩阵证明

定理6.45:设 \( \varphi\) 是 \( V\) 上的线性函数,那么存在唯一一个 \( v\in V\) 使得 \( \forall u\in V, \varphi(u)=\langle u,v\rangle\)。

本章对这个定理的证明很简洁明快,但是我在理解它的时候想到了另外一种视角:矩阵视角。

证明:将数域 \( F\) 看成是它本身的向量空间,那么这个向量空间就是一维的。在一组基底下从 n 维向量空间到一维向量空间的任何线性映射都有 1xn 阶矩阵与之对应,即 \( \varphi\) 可以表示为如下形式:

\( \varphi(x)=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\)

当所选取的 \( V\) 的基底是标准正交基底时,这个表达式又恰好是个内积表达式!它的值恰好等于 \( x\) 与

\( \bar{a}=\begin{pmatrix}\bar{a_1}\\ \bar{a_2}\\ \vdots\\ \bar{a_n}\end{pmatrix}\)

的内积。证毕。

其实追溯起来,这两种证法完全一样,因为这里的 \( a\) 代表的向量就是 \( \sum_{i=1}^n\varphi(e_i)\)。但是,这样理解之后,就把内积和矩阵的乘积联系在一起了。

部分习题解答:

17 证明如果 \( P\in \mathcal{L}(V)\) 满足 \( P^2=P\) 并且 \( \mathrm{null}\,P\) 中的任何向量都垂直于 \( \mathrm{range}\,P\) 中的任何向量,那么 \( P\) 是个正交投影映射。
证明:满足 \( P^2=P\) 的线性变换,它的值域与零空间满足
\( \mathrm{range}\,P\oplus\mathrm{null}\,P=V\)
因为值域中的任何向量 \( v=Pu\),如果也在零空间中,即 \( Pv=P^2u=Pu=0\),那么可见 \( v=0\)。再根据秩-零度定理得上式。
那么由题设条件,有 \( \mathrm{null}\,P=(\mathrm{range}\,P)^\perp\)
那么 \( \forall v=Pu+w, Pu\in\mathrm{null}\,P, w\in\mathrm{range}\,P\),有 \( Pv=P^2u=Pu\),这说明 \( v\) 在 \( P\) 的作用下相当于 \( v\) 向 \( \mathrm{range}\,P\) 的正交投影。

18 证明如果 \( P\in \mathcal{L}(V)\) 满足 \( P^2=P\) 并且 \( \|Pv\|\le\|v\|\),那么 \( P\) 是个正交投影映射。
证明:根据上题,有\( \mathrm{range}\,P\oplus\mathrm{null}\,P=V\) 。
那么任意向量 \( v=Pu+aw\),有 \( Pv=P^2u=Pu\),且因为 \( \|Pu\|\le\|Pu+aw\|\),根据习题2,得 \( Pu\perp w\),这说明值域中的任意向量(Pv)与零空间中任意向量(w)相互垂直,根据上题,得结论。

20 设 \( T\in\mathcal{L}(V)\) 且 \( U\) 是 \( V\) 的子空间。证明 \( U\) 和 \( U^\perp\) 都是 \( T\) 的不变子空间当且仅当 \( P_UT=TP_U\)。
证明:如果 \( U\) 和 \( U^\perp\) 都是 \( T\) 的不变子空间,那么任意向量 \( v=u+w, u\in U,w\in U^\perp\),有 \( P_UTv=P_U(Tu+Tw)=Tu=TP_Uv\)。
如果 \( P_UT=TP_U\),那么 \( P_{U^\perp}T=T-P_UT=T-TP_U=TP_{U^\perp}\),并且 \( \forall u\in U, Tu=TP_Uu=P_UTu\in U\)。同理可证正交补也是不变子空间。

26 取定一个向量 \( v\in V\),定义 \( T\in\mathcal{L}(V, F)\) 为 \( Tu=\langle u,v\rangle\)。对于 \( a\in F\),找到 \( T^*a\) 的表达式。
解:(本题可以用矩阵分析或内积表达式分析)
因为 \( \langle u,T^*a\rangle=\langle Tu,a\rangle=\langle \langle u,v\rangle,a\rangle=\langle u,av\rangle\),故 \( T^*a=av\)。

28 设 \( T\in\mathcal{L}(V), \lambda\in F\)。证明 \( \lambda\) 是 \( T\) 的特征值当且仅当 \( \bar{\lambda}\) 是 \( T^*\) 的特征值。
证明:\( \lambda\) 是 \( T\) 的特征值当且仅当 \( T-\lambda I\) 不可逆,即 \( \mathrm{null}\,(T-\lambda I)\not=\{0\}\),当且仅当 \( \mathrm{range}\,(T^*-\bar{\lambda}I)=\mathrm{null}\,(T-\lambda I)^\perp\not=V\),表明 \( T^*-\bar{\lambda}I\) 不可逆。

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