本篇有些内容是孟岩《理解矩阵（三）》中观点的严密化与深化。
数域 \( \mathbf{F}\) 上的两个向量空间 \( U\) 到 \( V\) 的一个映射 \( \varphi\)，若保持加法和数量乘法，即满足
\( \varphi(u_1+u_2)=\varphi(u_1)+\varphi(u_2)\)
\( \varphi(ku)=k\varphi(u)\)
则称 \( \varphi\) 为线性映射。
矩阵及矩阵的乘法与线性映射有十分重大的联系。为了看清这一点，我们采取以下步骤：
一、从一维空间谈起