三、实数定义概要

  整数分数统称有理数,无限不循环小数称为无理数,有理数无理数统称实数,实数与数轴上的点是一一对应的。
中学课本中这么简单几句话,要想透彻地把这几句话解释清楚,却需要很多知识,中学生是没有机会和精力学习这些知识的,一个人要想把实数系统理解透彻,需要消耗大学里相当长的一段时间,而这些知识又对数学的应用和理论发展用处不大,因此一般的大学,即使是数学系的本科,也不会系统地教授这些东西,默认你已经承认实数的那些通常的性质了。
  我在大学里花了相当长的一段时间研究实数的这些基础理论,研究数学的公理化方法,研究公理集合论。大学本科毕业时是我自己选题,写了毕业论文“实数的定义与性质”总结前人在这方面的工作。而今,这些都已经逐渐远去,一些技术细节也基本上忘记了。更糟糕的是,自己的毕业论文竟然没有留住,丢失了,虽然记得大概思路,但那些处理的细节已经记不得了。不过好在技术的处理并不是那么难而且大多数结论都能在书上找到。
  今天也并不打算论述实数定义的细节,那需要的篇幅不是我能承受的,写那些东西对别人也没什么用,只是提供一个大体过程,还有一些我那时所看的书,如果哪位对这个东西特别感兴趣,你先做个预习,然后在你读大学并且很有时间的时候去找书吧。

首先为什么要严格定义实数?
  关于为什么,是有历史原因的,我可能会在稍后的话题中讲,但从此贴吧长期存在并长期有人来讨论就可以看出来,中学所用的实数定义是很不清楚的。对于几何,我们从初一开始学习的时候就说,数学上有一些不加证明就承认了的“自明公理”,在这些假设下,再来推导其它的不那么显然的定理。几何上的公理在初中开始就比较清楚。反观实数理论,它以什么为公理?除几何之外的其它数学理论,它们以什么为基础?尤其在实数定义中出了个“无限小数”,更是给它蒙上了神秘的面纱。无限小数是什么意义?正是这里长期以来讨论的问题。

什么是实数?
  (你可以查阅wiki百科 “实数”条目,其中“初等数学”部分没什么新东西,你可以看看“历史”,看到直到十九世纪,实数才第一次出现了一种严格定义。“定义”和“性质”一节是真正的重点。)

  简单地讲,实数被公理化地定义为“完备序域”。
  什么是完备序域?百科中“公理的方法”一开始所描述的实数的性质就是完备序域的概念。但请注意,定义完备序域的时候是可以不假定实数的存在的:

设 R 是一个集合,如果:
  集合 R 是一个域: 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质;
  域 R 是个有序域,即存在全序关系 ≥ ,对R中所有元素 x, y 和 z:
    若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;
    若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
  集合 R 满足戴德金完备性,即任意 R 的非空子集 S (S∈R,S≠Φ),若 S 在 R 内有上界,那么 S 在 R 内有上确界。
则R和上面的运算、序关系被称为完备序域,也称实数域。R称为实数集。

  上面的定义是不依赖实数的,其中“域”、“全序关系”都是抽象代数中的基本概念。(上面的定义描述中没有展开,不知道域、全序关系为何物的可以查阅百科。)上界、上确界也可以在序域中轻松地定义出来。
  有了这个公理化的定义,我们需要证明这个公理化定义所描述的对象是存在的,即证明实数域是存在的,这就是“从有理数构造实数”一节说的那些方法。需要说明,在这个步骤中,我们假设已经有了有理数集,但有理数是从自然数集生成的,而我们需要定义的实数集现在并不一定包含着我们已有的有理数集。等到新的实数集完全构造好之后,我们再从实数集中分离出新的自然数集合有理数集,把现在这个旧的有理数集抛弃掉,这样有理数、自然数就又都包含在实数集中了。

  接下来,通过上面的定义推导出来的一些基本性质,我们可以证明:完备序域在同构的意义上是唯一的:任何两个完备序域必同构。也就是说如果忽略两个完备序域中元素的具体表现形式,它们基本上是一样的。那么,我们就可以通过这些公理统一地研究完备序域即实数域了。
  再接着,序域中有一些与“戴德金完备性”等价的命题,它们也是数学上十分重要的定理,很多其他数学分支都在自己的研究领域对他们进行概念上的推广,它们是:
1 戴德金分割定理;
2 确界存在定理(就是上面所说的戴德金完备性的内容);
3 单调有界数列有极限;
4 柯西数列有极限 和 阿基米德性质;
5 有界闭区间紧致;
6 有界数列必有某个子列存在极限;
7 闭区间套原理(我上面说明无限小数意义用的那个方法) 和 阿基米德性质;
8 希尔伯特所说的完备性:最大的阿基米德序域,即R为阿基米德序域,并且无法再往R中添加任何元素使R仍然为阿基米德序域了。
这些除了8 之外在数学系大一本科的教材中都有详细描述。8与其它等价的证明也不是很困难。

  注意柯西定理和闭区间套原理在一般的序域中并不与其它的等价(在我的记忆中是这样,看wiki百科似乎也是这么说),需要有阿基米德序域的假设。然而R为阿基米德序域又可以从其他的命题中推出(从3就可以推出R是阿基米德序域:如果单调序列都有极限,那么设a,b>0,如果任何自然数n都有 na 0,b>0,存在自然数n,使得n个a相加(记为na)大于b。)

  值得一提的是,上面的八条,有1、2、3、4、7这五条都提供了一种从有理数构造实数的方法,它们构造出来的集合除了元素内容不同之外,集合上的运算结构和序结构都是完全相同的。有些书上,主要是面向师范院校的数学分析教材中,由于考虑与中学数学的连贯性,也提出用形式上的无限小数作为实数的构造法,即把形式上的“a0.a1a2a3...”(其中a0为整数,a1,a2...等为0-9范围的整数,并规定9不作为循环节)作为元素,然后在这样一个集 he上建立运算和序关系,再证明集合构成实数集。但由于这种定义比其他方式更繁琐,尤其是定义加、乘运算和证明他们满足那些性质的时候,涉及到无限小数做加法乘法的繁琐过程。因此一般的书上没有用这种定义方法。

  有了实数集的定义,并且证明了实数集可以从有理数集构造出来,并且实数集是唯一确定的,接下来的事情就是引进实数的进位制表示法,用“无限小数”百科中的类似方法,类似于我们用十进制表示直线上点的方法。这样,在实数意义上的 “有限小数”、“无限小数”这些概念就出来了,而且,有了“无限不循环小数”。

  然后,证明实数与直线上的点一一对应。这里又需要看新知识:希尔伯特的公理化的欧氏几何。你可以想到,如果能在欧氏几何中的直线上面定义点的运算法则,那么直线上的点可以构成一个完备序域,从而它就是与实数一一对应的,因为所有完备序域是同构的。
但是这个思路我至今没见有人这么处理过。这是我自己想到的方式。一般的方式是先对应整数点,然后对应两个整数之间线段的m/2^n处,接下来用类似于极限的方法对应所有实数。之所以这么建立这个对应关系,是跟希尔伯特公理系统的内容有关的。

  完整的过程大致就是这样。列出一些比较重要的参考书:
  有关阿基米德序域和完备序域:汪芳庭《数学基础》,科学出版社。这里不只讲实数定义,还讲数理逻辑、公理集合论、超实数等概念。
  有关实数的构造法:很多书,好一点的数学分析书,尤其是外国人写的,上面都有至少有一种构造方法的描述。
  希尔伯特的《几何基础》对于研究几何的公理化方法是必读的书。

说了这么多,估计很少有人看得懂。可以简单总结如下:

要讨论某个无限小数是否等于一个数,首先必须知道无限小数代表的意思,连无限小数是什么意思都不清楚,就没法讨论。如果孤立地看无限小数,它就是一列数,可以说与无穷数列没有什么不同,只不过第一项之后都是0-9这九个数之一而已。它本身没有任何意义。你想让它表示什么就表示什么。
从现代公理化数学来看,是先有了实数集的定义,先有了一个实数集,即满足上面实数公理的一个集he,再来定义无限小数表示的意思。满足实数公理的一个集he,你完全可以看成一条直线,它和我们直观上的数轴是同构的。然后再定义无限小数与这个集的元素的对应。在对应过程中,我们发现,0.9循环确实对应 1.
你也可以这样看,就形式地把小数集看成实数集,像上面提到一些分析教材上的做法,但是,接下来我们发现,如果所有形式上的小数(所有形式上的有限小数、无限小数、整数)都在这个集中,并按通常数的十进制运算那样定义集上的运算与序关系,它又够不成实数集了,不满足实数公理了。必须规定9循环不出现在这个集中。

这里有意讨论两个正无限小数的运算,无限小数可以直接作运算吗?虽然实际上无法精确地作运算,但作为数学定义,无限小数的运算法则是可以被定义的,对于循环小数,这个法则也可以用于实际运算。
对于加法,比较好处理一些: 设a0.a1a2a3... b0.b1b2b3... 为上面所说的实数集中的两个元素,这有意味着它们都不含有循环节9。设a0.a1a2a3...+b0.b1b2b3...=c0.c1c2c3...,只需确定出每一位的cn就好了,从第一位小数开始依次向后,要考虑下面的进位,如果下面a(n+1)+b(n+1)>=10,则cn=(an+bn+1)的个位数,如果a(n+1)+b(n+1)=10,cn=(an+bn+1)的个位数,如果a(n+1)+b(n+1)<9,则cn=(an+bn)的个位数,如果a(n+2)+b(n+2)=9就再看a(n+3)+b(n+3),这样出现两种情况,一是后面若干位之后的某一位不再是9,从而可以确定 cn,或者循环9出现,那么直接向cn进1,cn之后都为0。这样,0.3333...+0.666...=1.00....,
0.3636...+0.6363...=1.
或许另一种形式的无限小数加法更有启发性,我们不理会9不能作循环节的事实,考虑0.999...+0.999..., 相应的位相加都等于18,然后接受下一位的进位,变成19,因此
0.999...+0.999...=1.999...
乘法就更繁琐(考虑anb0+a(n-1)b1+a(n-2)b2+...+a0bn),无需了解。

One thought on “三、实数定义概要

  1. 我对实数的理解就是,它是作为一个理想对象而引入的.每个实数都可以被一列有理数逼近,并且把实数定义为逼近本身,这样就解决了实数的概念问题.分析中经常要用到各种极限,如果没有实数,相当多的极限就会失去意义.所以实数是分析必备.

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